Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
то условие (7.4) принимает вид
|g(1)(*i, Хг) |= 1,
(7.6)
или, другими словами,
(xit х2) = ei(P (:ci> Жг).
Подстановка этого соотношения в выражение (7.3) для интенсивности в опыте Юнга дает
А, | 2/— х^) -(- G^ (х2, х2) +
+ 2[G^1^(a:1, Xi)G^l\x2, X2)] /2 costp^t, x2) —
= I [G(1) (x^ Xi)]1/2e<-ь хг) + [G<‘> {Хъ X2)]V. i*. (7.7)
Эта интенсивность изменяется между двумя предельными значениями
Параметр, который обычно называют видностью колец, определяется выражением
Если поля, падающие на два отверстия, имеют равные интенсивности, т. е. если
то интенсивность изменяется между нулем и 4G(1) (xi, х^, а вид-ность v = 1
Условие (7.4) связывает амплитуды полей лишь в двух пространственно-временных точках Xi и х2. Если это условие выполняется, то можно говорить о взаимной когерентности полей в этих двух точках. Аналогичный подход был использован Борном и Вольфом при рассмотрении классических полей на основе усредненных по времени корреляционных функций.
Для квантовой механики характерно рассмотрение поля как динамической системы. Поэтому было бы значительно удобней как с аналитической, так и статистической точек зрения представить когерентность как идеализированное свойство полей в целом.
/мин = {[G(1) (Xi, Xi)f2 - [G(1) (*2, *2)]1/2}2, (7.8)
/макс = {[G(1) (Xi, Xi)]xh + [G(1) (X2, *2)]1/2}2. (7.9)
V =
2 [<j(1> (Xj, Xj)G^(x2, xa)]1/»
Лиане-!" ^мин
G(1)(*i, ACi)+G(1>(JCa, *2) '
G{i)(xi, x^ =G(1) (x2, x2),
Такое свойство можно описывать с помощью условия (7.4), однако эквивалентное и математически более удобное описание можно получить из требования факторизации корреляционной функции первого порядка.
Пусть функция G(1) {Xi, х2) представима в виде произведения двух функций А fo) и В (х2) '
x2) = A(Xi)B(x2). (7.11)
Используя свойство симметрии (6.7), получаем, что функции А и В удовлетворяют тождеству
А (х2) В ta) = А* (xt) В* (х2),
или
А (х2) А* (*1) ч (у^
В* (х2) ~ В (Xl) •
Так как в последнем соотношении функция от xt равна функции от х2, то обе функции должны быть постоянными. Эта постоянная, которую мы обозначим буквой |х, должна быть действительным числом, в чем можно убедиться, полагая xL и х2 равными. Таким образом,
Л(х) = ^В*(;с). • (7.13)
Так как функция G(i)(x, х) положительна, то величина (г также положительна. Следовательно, если ввести функцию
%{x) = VvB{x), (7.14)
то корреляционная функция первого порядка принимает факторизованный вид
¦ G(1)(^ х2) = Щ*(ху)Ш (х2). (7.15)
Отсюда ясно, что если факторизация возможна, то функция % (х) почти полностью определена. Остается неоднозначным только постоянный фазовый множитель.
Ниже мы убедимся, что свойство факторизуемости (7.15) весьма удобно в качестве определения оптической когерентности, или когерентности первого порядка. Очевидно, что это условие подразумевает условия (7.4) и (7.6) для абсолютных значений корреляционных функций, и, наоборот, при выполнении условий (7.4) и (7.6) во всех точках поля условие факторизации также справедливо во всех точках поля. Обсудив некоторые примеры когерентных полей, мы покажем, что оба способа рассмотрения когерентности эквивалентны.
Самым элементарным примером поля с факторизованной функцией G(1> является любое классическое поле, для которого точно определены коэффициенты Фурье Сд, т. е. любое поле, для которого распределение вероятностей Р ({Сй}) сводится к произведению б-функций. В этом случае функция % (х) есть само классическое поле Ei+) (х). Здесь мы впервые замечаем тесную связь, которая существует между когерентностью и отсутствием шумов,— связь, которую мы вскоре обсудим подробнее. Отсутствие случайности или шума в определении коэффициентов Фурье долгое время служило в технике связи критерием «когерентности» сигнала.
Другим примером когерентности может служить один из путей осуществления опыта Юнга (хотя, по-видимому, и не самый удобный), заключающийся в рассмотрении однофотонного волнового пакета, падающего на отверстие в экране ст. Тогда, если проделать эксперимент много раз, в точности повторяя волновой пакет, то интерференционные кольца проявятся в виде статистического распределения фотонов, попавших на экран 22. Такие чистые состояния для отдельных фотонов всегда будут приводить к кольцам в таком статистическом смысле, в чем можно убедиться, исследуя корреляционную функцию первого порядка. Предположим, что поле находится в некотором чистом однофотонном состоянии, которое обозначим символом 11 фот ). Тогда оператор плотности для поля равен
