Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глаубер Р. -> "Оптическая когерентность и статистика фотонов" -> 25

Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.

Глаубер Р. Оптическая когерентность и статистика фотонов — М.: Мир, 1966. — 189 c.
Скачать (прямая ссылка): opticheskayakognetivnostfotonov1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 76 >> Следующая

4. Учет произвольных поляризаций

С математической точки зрения необходимо лишь немного добавить к нашим прежним рассуждениям, чтобы проанализировать поле с произвольной поляризацией. Как мы уже отмечали, чтобы учесть общий, тензорный характер корреляционных функций, нужно в полученных нами формулах связать время и каждую из координат с тензорным индексом. Например, соотношения (6.7) при п = 1 и (6.17) можно обобщить в виде

[G$ (х%, x2)]* = G^(x2, х%), (8.8)

\G\tl(xi, jc2)(jcj, Xi)G$v(xz, x2). (8.9)

Отметим, что вся информация о поляризации поля содержится в корреляционном тензоре Gj^ (х, х); обозначим его через '3VN. Тензор §!xV является эрмитовой матрицей, т. е. ^J,v = ^vn- Если в общее неравенство 8р[дАМ]>0 подставить

з

А= 2 КЕ^(х),

V=1

то найдем

з

S K^Uv>0- (8-10)

М-, v=l

Таким образом, есть также положительно определенная величина. Ввиду эрмитовости тензор можно диагонализировать. Это означает, что имеется три действительных и положительных собственных значения Хр и три (вообще говоря, комплексных) собственных вектора ё<р>, таких, что

^.е<р)* = Лрв<р)*, ?<*»•? = (8.11)

Заметим, что в соответствии с определением тензора ?/, величины Хр и ё(р) зависят в общем случае от пространственно-временной точки X.

Собственные векторы ё(р) либо оказываются взаимно ортогональными, если собственные числа Я не вырождены, либо могут быть выбраны взаимно ортогональными, если они вырождены; следовательно,

>).е(9)* = бот. (8.12)

Так как тензорное произведение

е(г).^.е(я)* = 1р бм (8.13)

определяет корреляцию компонент поля в направлениях е<р) и ё(ф, то имеется три «направления» (комплексных направления), в кото-
рых компоненты поля взаимно не коррелированы. Таким образом, любое поле можно рассматривать как суперпозицию трех перпендикулярно поляризованных полей, амплитуды которых (в каждый момент) не коррелированы.

Собственные значения Я(р) представляют собой интенсивности, соответствующие трем поляризациям. Общая интенсивность дается выражением

SpS = 2V (8.14)

р

Совокупность нормированных интенсивностей можно определить следующим образом:

2 ^

3 = 1

Эти величины можно рассматривать как точное определение степени поляризации поля. Для изотропного поля /р = 1/3, р — 1, 2, 3. Если поле стационарно, т. е. [q, Н ] = 0, то тензор jr не зависит от времени; в этом случае величины ё(р), и /р становятся фиксированными в любой точке пространства г.

Если мы рассматриваем пучок, распространяющийся в одном направлении %, то, очевидно, что k ¦ & = 3 • k = 0 (так как свет представляет собой поперечную волну). Следовательно, вектор k есть собственный вектор тензора 2/, соответствующий собственному значению Я = 0; тогда остается только два собственных значения Яр, соответствующих р = 1,2. Суммарную поляризацию пучка обычно определяют равенством | /4 — /2 | = |Я4 — Я2 | / (Я4 + Я2). Оба направления поляризации е<Р>, р = 1,2 лежат, очевидно, в плоскости, перпендикулярной вектору k.

Корреляционный тензор высшего порядка определим следующим образом:

,ц2п (Х4 ... Х2п) =

= Sp [qE^ (Xl) ... (Хп) ?<+>+1 (хп+1) ... ?<+> (х2п)]. (8.15)

Условие когерентности для полей любой поляризации можно получить путем видоизменения условия (8.5) таким образом, чтобы существовала векторная функция gp (х), для которой

п 2п

<?*,...¦**,(*! ••• ^) = П $tj(xj) П Ш^(х}) (8.16)

3=1 3=п+1

при п*СМ.
В качестве последнего замечания о поляризации отметим, что когерентность первого порядка предполагает полную поляризацию поля, т. е. если

(х, х) = = %%. {х) gv (х), (8.17)

то вектор (х) является собственным вектором. Соответствующая

з

интенсивность имеет вид 2 I (х) I 2 и представляет собой пол-

Ц=1

ную интенсивность поля.

5. Понятия о когерентных состояниях поля

Попытаемся теперь образовать состояния, в которых поля полностью когерентны, т. е. состояния, в которых все корреляционные функции Gin> факторизованы в соответствии с соотношением (8.5) или (8.16). Если бы существовали общие собственные состояния операторов Е(+’ и то такие собственные состояния, очевидно, привели бы к желаемой факторизации. Однако ввиду того, что ?(+) и не коммутируют (их коммутатор есть число), то такие собственные состояния не существуют. Можно смягчить наши требования, поскольку в корреляционных функциях операторы поля всегда содержатся в нормальном порядке!). Поэтому для обеспечения когерентности достаточно, чтобы состояние поля представляло собой просто собственное состояние оператора Е(+) в том смысле, что
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed