Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
в которых функции %у.(тt) играют роль собственных значений. Возможно, как мы отметим позднее, найти такие собственные состояния | ), которые соответствуют произвольному выбору собственных значений (г/) [при условии, что %ц (г/) подчиняются уравнениям Максвелла, которым также удовлетворяет оператор поля Ец (г/) ] и содержат только положительно-частотные члены в разложении Фурье.
Важность собственных состояний, определяемых уравнениями (2.2) и (2.3), заключается в том, что они приводят к факторизации корреляционных функций. Если поле находится в собственном состоянии такого типа, то q = | ) < | и корреляционная функция первого порядка приводится к виду
Gft(r*. r't') = %l(rt)%^(r't'). (2.4)
Для корреляционной функции п-го порядка имеет место аналогичное разделение на произведение 2п сомножителей. Представление
корреляционных функций в факторизованном виде мы использовали для определения полностью когерентных полей. Поэтому собственные состояния ] }, которые обладают многими интересными свойствами и будут детально изучены, были названы когерентными состояниями. Для изучения свойств таких состояний полезно изложить некоторые элементы квантовой электродинамики, непосредственно относящиеся к данному вопросу.
Операторы электрического и магнитного полей Е (rt) и В (г/) можно получить из оператора векторного потенциала A (rt) с помощью соотношений
B_VxA. (2.5)
При рассмотрении квантовых состояний поля удобнее описывать поле не непрерывными переменными, а с помощью дискретной последовательности динамических переменных. Предположим поэтому, что рассматриваемое поле заключено в пространственном объеме конечного размера, и разложим векторный потенциал внутри этого объема по соответствующему набору векторных функций собственных состояний, или мод. Амплитуды, связанные с такими колебаниями, образуют дискретный набор переменных, динамическое поведение которых рассмотреть весьма просто.
Выбор набора мод иА (г) обычно определяется из физических соображений, которые непосредственно не имеют отношения к рассматриваемому вопросу. В частности, нет необходимости определять природу граничных условий в данном объеме; граничные условия могут быть как периодическими, что приводит к бегущим волнам, так и соответствующими отражающими поверхностям, что приводит к стоячим волнам. Если объем не содержит преломляющих сред, то можно считать, что во внутренних точках объема функции мод и* (г), соответствующие частотам a>h, удовлетворяют волновому уравнению
V2u* + -Ju* = 0. (2.6)
В наиболее общем случае, отвлекаясь от вида волнового уравнения или граничных условий, мы будем предполагать, что наши функции образуют полный набор, который удовлетворяет условию орто-нормированности
Uh(r)-Ui(r)dr = 8ki (2.7)
и условию поперечности
V*Uft (г) = 0. (2.8)
Собственные функции в виде плоских волн, соответствующие кубическому объему с ребром L, можно записать следующим
образом:
uA(r ) = L_3/2e(4>ik-r, (2.9)
где ё^> есть единичный вектор поляризации. На этом примере видно, что индексом моды k можно заменить несколько дискретных переменных, т. е. в данном случае индекс поляризации (к = 1, 2) и три декартовые компоненты вектора распространения к. Но для этого необходимо, чтобы вектор поляризации ё№ был перпендикулярен вектору к согласно условию (2.8), а допустимые значения к определялись бы обычным образом с помощью периодических граничных условий.
Для векторного потенциала используется следующее разложение:
А(г/) = с2 (J~y/\ahUk{r)e-i^t + ahx*k{r)eiaht}, (2.10) h
где нормировочный множитель выбран так, чтобы комплексносопряженные амплитуды ah и ak были безразмерными. В классической электромагнитной теории такие фу.рье-амплитуды являются комплексными числами, которые выбираются произвольным образом, но так, чтобы они оставались постоянными во времени в отсутствие зарядов и токов. В квантовой же электродинамике эти амплитуды должны рассматриваться как взаимно сопряженные операторы. Операторы амплитуд, определенные соотношением (2.10), также будут оставаться постоянными во времени при отсутствии в изучаемой системе источников поля.
Динамическое поведение амплитуд поля описывается гамильтонианом, который в рационализированной системе единиц СИ имеет следующий вид:
Я = Т S (E2 + B2)dr. (2.11)
Используя уравнения (2.7) и (2.8) и соответствующие граничные условия для функций мод, этот гамильтониан можно привести к виду
Н = ba>k(alak + akai). (2.12)
а
Это выражение послужило источником для известной и исключительно плодотворной аналогии между амплитудами мод поля и координатами совокупности одномерных гармонических осцилляторов. Квантовомеханические свойства операторов ah и а\ определяются полностью, если принять для них соотношения коммутации, аналогичные соотношениям для независимых гармонических осцилля-
