Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Вероятность ошибочности такого способа вычисления вращения векторного поля существенным образом зависит от расстояния контура до какой-то точки спектра. Если случайно оказалось, что точка спектра расположена очень близко от прямолинейного участка контура (Xj, Xi+1), описанная выше процедура определения аргумента
может привести к принципиальной ошибке: в окрестности корня Ф(Х) (тем более, если близко к друг другу расположены несколько корней Ф или около контура находится кратный корень) изменение направления поля может быть большим на малом расстоянии.
В начале расчета, когда область G выбирается на основании грубых априорных соображений, вероятность столкнуться с такой ситуацией очень мала. По мере дробления области, когда происходит локализация корня в области все меньшей и меньшей, корень, конечно, приближается к контуру, но одновременно происходит и уменьшение шага, с которым обходится контур. В принципе, при благоприятном ходе вычислительного процесса обход каждого контура требует примерно одного и того же числа вычислений Ф(Х): ведь одновременно с уменьшением шага уменьшается и длина контура очередной области локализации. Если, например, в области G есть всего один корень и шаг Xi+1 — Xi регулируется так, что в среднем при переходе от Xi к Xi+1, значение arg Ф(А.) изменяется на л/4, вычисление вращения «стоит» всего десяти вычислений Ф(Х).
Кроме того, имеется дополнительная возможность сокращения объема вычислений за счет использования уже имеющейся информации: производя деление очередного прямоугольника пополам, можно вычислить вращение поля вдоль каждого из двух новых контуров, вычисляя вращение лишь вдоль введенной на этом шаге линии раздела. Однако такой способ требует в общем случае достаточно хитроумного программирования и хранения полученной ранее информации.
Если читатель сочтет изложенное выше не слишком надежным, не гарантирующим правильного решения задачи вычисления всех
§ 15]
СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
189-
точек спектра в некоторой заданной области, он будет совершенно прав. Такую процедуру можно сделать сколь угодно надежной, уменьшая шаг обхода контура (т.е. увеличивая объем вычислений) и, наконец, просто «точной», если заменить описанную выше процедуру вычисления вращения на хорошо известный в теории функций комплексного переменного контурный интеграл. Однако эта точность обманчива: ведь интеграл нужно вычислять по какой-то квадратурной формуле, и на стадии ее реализации в расчет войдет какая-то сетка со всеми вытекающими отсюда последствиями.
Мы встречаемся здесь с достаточно типичной в вычислительной математике ситуацией: практически, доведенный до числа расчет редко дает полностью гарантированный ответ. Содержательная интерпретация такого численного результата содержит элемент риска, уменьшение которого связано с увеличением объема вычислительной работы.
Алгебраические методы. Аппроксимируя задачу конечномерной, мы получаем формально стандартную алгебраическую спектральную проблему. Для ее решения разработаны надежные алгоритмы, они включены в системы математического обеспечения ЭВМ, и можно просто воспользоваться одним из них. Этот путь возможен, но нужно внимательно отнестись к выбору средства аппроксимации. Общие алгебраические методы весьма чувствительны к такому фактору, как размерность пространства. Следует использовать методы дискретизации, которые при относительно невысокой размерности пространства позволяют получать достаточно высокую точность. Метод конечных разностей к таковым не относится, его достоинства в другом.
Проиллюстрируем сказанное, описав в общих чертах алгоритм, разработанный К. И. Бабенко. Эффективность этого метода основана на двух основных идеях:
а) обращение главной части дифференциального оператора;
б) выбор эффективного аппарата конечномерной аппроксимации.
Обращение главной части оператора состоит в решении краевой
задачи
~ = а~ + Ьх~Хх, х(0) = х(1) = 0,
причем правая часть считается «известной». Решение имеет явное выражение: применение к обеим частям оператора (d2/dt2)~l состоит в интегрировании после умножения на функцию Грина K(t, |). В результате получаем эквивалентное уравнение: і
х(0 = $ K(t, ?) [а(|) х(Ю + Ь(Ю х(Ю - X х(1)] d%. (9)
о
190 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ [Ч. II
Явный вид ядра K(t, ?) считается, разумеется, известным. В рассматриваемом случае
^0,1) = {?(!- 0 при 1?;/, i( 1-?) при %>t}.
Дальнейшее продвижение связано с заменой искомой функции x(t) подходящей аппроксимацией. В частности, предлагается искать x(t) в форме сеточной функции, определенной в чебышевских узлах и восполняемой до непрерывной с помощью интерполяционного полинома. Итак, приближенное решение ищется в виде
*(0 = E Хп *лг(*)> (10)
где 1% (t) есть интерполяционный базис — полиномы степени N (CM. § 3). Значения хп пока неизвестны, для них будет получена система линейных уравнений с параметром X.
Прямая подстановка конструкции (10) в (9) приведет, очевидно, к неразрешимой задаче, так как в нашем распоряжении имеется всего Ar 1 параметр, а (9) — это «континуум» уравнений. Поэтому вводится сетка так называемых точек коллокации {t*k}k^0, и выполнение (9) для x(t) в форме (10) требуется лишь в точках t\. Таким способом получается система уравнений NNN
