Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
**0,1, ...,JV, (11)
>1 = 0 H = O D=O
где ^
І ад ад + нч) ът
0
1
J ад I) W) d%.
о
Tеперь для определения {х„} и Я мы имеем Ar + 1 уравнений (И), которым можно придать стандартную форму спектральной задачи Ax = XCх. Опыт показал, что сравнительно небольшие значения N, приводящие к не очень трудоемкой алгебраической проблеме собственных значений, при таком подходе позволяют получить с хорошей точностью сравнительно большое число точек спектра дифференциального оператора (примерно N/2 и даже больше). Например, для уравнения Ламе такой алгоритм уже при TV = 21 дает для первых восьми собственных значений величины, совпадающие с
ГЛАВНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
191
«каноническими табличными» в девяти десятичных знаках, следующие четыре собственных значения совпадают с табличными в восьми десятичных знаках, и т.д.
При оценке трудоемкости и точности алгоритма нужно иметь в виду, что она существенно зависит от того, как вычисляются интегралы, определяющие коэффициенты матриц А и С. Наиболее эффективные результаты получаются в том случае, когда интегралы Ьк п, ск п «берутся» в конечном виде и вычисления проводятся по каким-то не очень сложным формулам с очень высокой точностью. Если же таких формул нет и приходится вычислять
интегралы (а их не так уж мало, примерно 2N2) по каким-то квадратурным формулам, трудоемкость алгоритма заметно возрастает.
§16. Главная спектральная задача для краевых задач математической физики
В приложениях часто возникает задача, которую формально можно записать в простой форме. Пусть А — линейный дифференциальный оператор, соответствующий некоторой краевой задаче для уравнений с частными производными. Нужно найти главное собственное число и соответствующую ему собственную функцию:
Au = Xu. (1)
Главным собственным числом называют обычно крайнюю точку спектра, например с наибольшим значением Re X. Поясним суть дела, рассмотрев важный в приложениях пример — математическую модель ядерного реактора. Разумеется, мы ограничимся сравнительно простой моделью. Ядерный реактор будем представлять себе в виде некоторого прямоугольного тела (например, в виде трехмерного куба).
Распределение нейтронов в реакторе описывается системой двухгрупповых уравнений диффузии:
1 ^4*1
- _ = div D1 grad Фх - ЛиФ! + АпФ2,
(2)
і аФ, ^
_ _ = div D2 grad Ф2 - Л22Ф2 + A21 Фр
с краевыми условиями на границе Г куба Ф; — Ф2 = О и какими-то начальными данными. Здесь Фf(t, х, у, z) (/=1,2) — функции, описывающие распределение быстрых (Ф^ и медленных (Ф2) нейт-ронов. Уравнения (2) описывают их эволюцию во Времени с учетом следующих процессов: ^ j
192
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. п
1) диффузия (члены (Jiv-Dj grad Ф;);
2) поглощение нейтронов (члены — Аиф1 И ~А22ф2>;
3) рождение быстрых нейтронов при поглощении медленных (член Л12Ф2) и наоборот (член ^1)-
Коэффициенты системы D, А суть некоторые функции X, У, Z, определяемые физическими константами материалов, из которых составлен реактор. Задача линейна относительно Ф(. Ее можно записать в компактной форме:
% — ЛіР> (3)
где <р= {Фц Фг}, А — линейный дифференциальный оператор эллиптического типа, главная дифференциальная часть которого div?) grad при постоянном D есть просто DA (свойства оператора А во многом похожи на свойства оператора Лапласа).
Чтобы представить себе характер процессов, протекающих в реакторе, воспользуемся методом Фурье для решения уравнения (3). Так как А не зависит от г, частные решения (3) можно искать в виде <р(ґ) = ektu. Подставляя в (3), имеем
XektU = AeuU = е^1Аи, или Au — Xu,
т.е. X должно быть собственным числом, и — соответствующей собственной функцией оператора А. Из теории эллиптических уравнений мы знаем, что имеется дискретное множество собственных значений Xk и соответствующих собственных функций %, образующих полную систему. Занумеруем собственные значения в порядке убывания Re Xk: Re Хк-* —оо при к-* <». Начальную функцию <р0 разложим в ряд по %: ч>0 = 2 Тогда сразу имеем решение:
к
<р(0 = 2
к
Нетрудно убедиться, что при достаточно большом времени t в решении (4) выделяется главный член с наибольшим значением Re X: <р(ґ) » C1^VКстати, нужно понимать, какое время является большим для процесса, описываемого системой (2). О нем естественно судить по величине это следует из выражения
<p(t) = eV(c jl|)j + c2e^z~>'i>t + ...).
Например, в некоторых реакторах X2 — X1 —(50 н-100), т.е. время
0.1 с уже является очень большим. Что же происходит с реактором? Все зависит от значения X1: если X1 > 0, реактор «взрывается», если
§ 16]
ГЛАВНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
193
X1 < 0, реактор «тухнет». Рабочий режим реактора — это ситуация X1 = 0. Разумеется, значение X1 зависит от коэффициентов системы, т.е. от физического состава реактора. Он поддается регулированию с помощью стержней. Цель этого регулирования — обеспечить значение X1 = 0.
Теперь понятно, почему в практике расчетов ядерных реакторов одной из главных вычислительных задач является вычисление крайней точки спектра линейного дифференциального оператора (I). На практике А — это не дифференциальный оператор, а конечно-разностный, если мы решаем задачу (2) методом сеток. Для нас важно следующее обстоятельство: размерность конечномерного пространства и очень велика (порядка IO3-S-IO5). Поэтому матрицы А мы обычно в явном виде не имеем.
