Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Федоренко Р.П. -> "Введение в вычислительную физику" -> 75

Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику — М.: Физ-тех, 1994. — 528 c.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка): vvedenievvichesleniyah1994.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 210 >> Следующая


ui + l = Ui + ХІ+1(А- Х*Е)и1.

Оператор А — X' E имеет те же собственные векторы, что и А, ц спектр его получается из спектра А сдвигом на X*.

В идеальном случае (X* = X1 и для X2 известна достаточно хорошая оценка) чебышевское ускорение действует только на компоненты cktyk при к = 2,3, 4, ...; компонента C1Ip1 не меняется. Случай
ГЛАВНАЯ' СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

199

X* < X1, когда первое сдвинутое число X1 — X* > 0, тоже достаточно благоприятен при условии, конечно, что X2 - X* < 0. В этом случае значение чебышевского полинома в точке X = X1 велико и это способствует более быстрому выделению в функции и1 главной компоненты. (Полиномы Чебышева обладают многими экстремальными свойствами, в том числе и самым быстрым среди полиномов той же степени ростом за пределами интервала, на котором расположены корни.)

Применяется и часто дает хорошие результаты метод, иногда называемый методом регуляризации. В этом случае итерации проводятся по формуле

где В — «легко-обратимый» оператор (не в том смысле, что легко найти В~1, а в том, что легко решить уравнение Bv= г). Очевидно, такие итерации можно изучать в форме ul + l — (Е + хВ~1А)и1.

Таким образом, можно говорить о методе простой итерации для оператора В~1А. Эффект ускорения достигается в том случае, если число обусловленности (или, другими словами, отношение минимального собственного значения к максимальному) у матрицы В~1А близко к единице, т.е. B~lA ~ Е.

Однако применение этого метода связано с двумя неприятностями. Первая состоит в том, что если матрицы В и А не перестановочны (а это типичный в приложениях случай), то собственные векторы В~1А (именно один из таких векторов выделяется рассматриваемым итерационным процессом), вообще говоря, не совпадают с собственными векторами А. Для борьбы с этим недос+атком используется метод сдвига спектра. Имея и1, можно вычислить оценку для X1 (считая, что в и1 искомая компонента тр, является уже доминирующей): X* = {Au1, и')/(и1, и1). Следующая итерация проводится по формуле B(ui+l — и1)/т = (А — к*Е)и‘. Смысл этого приема в том, что при X* = X1 собственный вектор Tp1 матрицы А, соответствующий точке спектра X1, является и собственным вектором матрицы В~1(А— Х*Е) при любом В.

Укажем и на вторую опасность, которую тоже надо иметь в виду. Пусть для простоты А и В перестановочны, а собственный вектор Tp1 соответствует точкам спектра X1 и P1 операторов А и В соответственно. При этом для А точка X1 является крайней правой в спектре, и именно поэтому она нас интересует. Однако собственное число X1ZP1 оператора В~УА может оказаться не крайней, а внутренней
200

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ

[Ч. и

точкой спектра, и степенной метод с таким регуляризатором выделит не Tp1, а какой-то другой собственный вектор, соответствующий крайней точке множества A*/Pt (к = 1, 2, 3, ...).

Оператор Шредингера с периодическим потенциалом. Рассмотрим характерную спектральную задачу квантовой теории твердого тела. Ниже описан опыт ее решения в ИПМ им. М. В. Келдыша. Физическая задача связана с исследованиями возможности существования так называемого «металлического водорода». Для нас наиболее интересными будут вопросы вычислительной технологии; они характерны для задач квантовой механики.

Итак, рассматривается задача определения собственных чисел и функций оператора Шредингера — Д + U, где U(x, у) — потенциал, являющийся периодической функцией переменных х, у:

OO 00

и(х ,у) = 2 E v(x+ ках, у+ Ia2), (5)

Zt = -«о 1 =

v(x, у) = е—/VX2 + у1. (6)

Такой потенциал возникает в периодической прямоугольной решетке (aj, а2 — периоды по х, у соответственно). В центре каждой ячейки находится полюс потенциала.

По теореме Блоха, используя замену и(х, у) = еі{к'х+кгу',у>(х, у), можно свести проблему к спектральной задаче Ну = Aip, где

H=-A + 2i{kv± -M2^j +(k2+k\) + U. (7)

Функция Чр(х, у), определенная в ячейке |л:| *? aj/2, |у| *? a-Jl, является периодической по х, у. Задачу надо решать многократно для значений к2 из некоторой сетки, покрывающей так называемую зону Бриллюэна.

Задача решается методом конечных разностей. Ячейка покрывается сеткой NxN, оператор (7) аппроксимируется стандартным конечно-разностным. Первая неприятность состоит в том, что функция U(x, у) может обратиться в бесконечность в каком-то узле сетки. Ее легко избежать, немного сдвигая ячейку, что допустимо в периодической задаче. Ho это плохой выход: опыт показывает, что при тех небольших значениях N, которыми приходилось ограничиваться в практической работе, результат сильно зависит от сдвига и от числа узлов сетки N.

Вторая проблема связана с вычислением потенциала U по формуле (5). Вычисление таких сумм осложняется очень медленной сходимостью, необходима разработку методов ее ускорения. Один из часто
ГЛАВНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

201

применяемых приемов состоит в том, что члены медленно сходящегося ряда J ак разбивают на две части:

2 ак = 2 а'к + 2 а'к' ак~а'к + aV к к к
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed