Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом узел (/, у) грубой сетки совпадает с узлом (kif т,]) основной. Числа Ici, естественно, возрастают, и все разности ki+l — к, достаточно малы, в остальном они произвольны. Возможны и более сложные способы построения грубой сетки. В таких ситуациях возникает вопрос: как строить аппроксимацию на грубой сетке? Он еще более обостряется, если коэффициенты уравнения достаточно сильно отличаются даже в близких узлах основной сетки, т.е. если решается уравнение с разрывными коэффициентами.
Пусть на основной сетке получено приближение и с гладкой невязкой г = Au — / (здесь А — оператор на основной сетке, аппроксимирующий произвольный эллиптический, а не обязательно оператор Лапласа). Определим грубую сетку и оператор I, интерполирующий функцию, заданную на грубой сетке, на основную сетку. Попытаемся найти на грубой сетке такую функцию W, чтобы получить
А(м —IW) — / = 0.
Очевидно, это невозможно, так как уравнений здесь столько, сколько внутренних узлов на основной сетке, а неизвестных W столько, сколько внутренних узлов на грубой сетке (функция IW должна удовлетворять однородным краевым условиям исходной задачи, чтобы коррекция и — IW не портила краевые условия). Однако это уравнение можно решить в «слабом», галеркинском, смысле:
0 = (А(и - IW) - /, IV) = (Гг - ItAIW, V), V V
или в явной форме — в виде уравнения для W:
DW=R, где D=ItAI, R= Гг.
Ч
РЕШЕНИЕ 'ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СЕТОК
179
Таким образом все определяется только конструкцией оператора интерполяции с грубой сетки на основную I. Что представляет собой
оператор /\ сопряженный к оператору интерполяции? Он отображает функции, определенные на основной сетке, в функции, определенные на грубой сетке. Структура его достаточно проста. Предположим, что к — индекс (точнее, мультииндекс) некоторого узла грубой сетки. Вычислим (Pz)k, где z — некоторая функция на основной сетке. Пусть j(l:Nk) — список номеров узлов основной сетки, при интерполяции в которые используется значение интерполируемой функции в к-м узле грубой сетки. Если Nk — число таких узлов, a o(l:Nk) — значения соответствующих коэффициентов интерполяции (т.е. при интерполяции в Дп)-й узел в сумму входит слагаемое o(n)Zk), то
(ftZ)k= 2 a(n)Zj(ny
П = 1,-, AT4
Итак, Г — это оператор «сбора» значений в узлах основной сетки в узел грубой. Он является оператором локального типа в том смысле, что значение (Iz)k зависит только от значений z в узлах основной сетки, примыкающих к &-му узлу грубой. Разумеется, это есть следствие локальности оператора интерполяции, в качестве которого обычно используют линейную по каждой переменной интерполяцию.
Найдя W и осуществив коррекцию, получим функцию м = = и — IW. Об ее невязке г = Au — f известно, что (г, IV) = О (V V). Взяв в качестве V функцию, равную единице в к-м узле грубой сетки и нулю в остальных, получим следующее свойство невязки г: взвешенная сумма значений гп в узлах основной сетки,
примыкающих к к-му узлу грубой, равна нулю (см. рис. 17). Конечно, уравнение для W решается тоже приближенно, поэтому DW = R + е, и вышеупомянутая взвешенная сумма не равна нулю, но она есть О(е). После коррекции невязка нового приближения и — IW стала очень маленькой «в слабом смысле» функцией.
Поясним, почему такие невязки эффективно «подавляются» простыми итерационными методами. Рассмотрим одномерную модель задачи — систему уравнений
Un-1 2м„"Ьм,) + 1 fп, п 1,2,..., N I, Uq= Un = 0.
Простейший, так называемый релаксационный метод решения этой системы состоит из итераций типа
Un = 0.5 (un_i + un+l- fn), п = 1,2, ..., N — 1.
180
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч. I
Здесь ип _! берется уже с «верхней итерации». Проделав пересчет в n-м узле, мы, очевидно, обратим в нуль невязку именно в этом узле. Однако, как нетрудно проверить, невязки в соседних узлах изменятся следующим образом:
гп-і:=гп-і + 0.5гп, гп+1 ¦¦= гп+1 + 0.5гп.
Если знаки rn_l, rn, гп+1 совпадают, операция не меняет нормы невязки, определенной формулой Ikll IrrtI* Она уменьшается в случаях, когда п = 1 или п = N — 1 и когда знак гп противоположен знаку гп_1 или гп+1. Именно такую ситуацию создает коррекция в узлах основной сетки, совпадающих с узлами грубой.
Коррекция и эффективна, если ее невязка г достаточно гладкая функция в том смысле, что при вычислении R = Гг, как взвешенной суммы, не происходит сильного сокращения слагаемых с противоположными знаками. Что касается коэффициентов разностного оператора на грубой сетке D = Г Al, то они являются некоторой взвешенной суммой коэффициентов аппроксимации на основной сетке, вычисление которых однозначно определяется заданием оператора интерполяции.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
§15. Спектральная задача Штурма-Лиувилля
Рассмотрим некоторые приближенные методы вычисления собственных значений и функций линейных дифференциальных операторов. Важнейшим прикладным источником подобных задач является квантовая механика. В качестве характерного примера рассмотрим задачу вычисления волновой функции частицы, движущейся в центрально-симметричном поле с потенциалом U(г). Определение волновой функции гр(г, 0, <р) приводит к уравнению Шредингера
