Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Многие итерационные методы решения этого уравнения укладываются в общую схему:
где В — некоторый разностный оператор, называемый (по терминологии А. А. Самарского) регуляризатором. Он должен обладать следующими свойствами:
1) B = B* (самосопряженность);
2) В> 0, т.е. (Ba, и) > у(и, и) для всех и;
3) (очень важное свойство) оператор В должен быть легко обратимым, т.е. задача Bv = z легко решается; мы имеем алгоритм, позволяющий сравнительно «дешево» определить V из этого уравнения («дешево» по сравнению с «ценой» исходной задачи Du = f)-,
4) (очень важное свойство) оператор В должен быть «энергетически эквивалентен» оператору -D в смысле неравенств
7і(Ви, и) (-Du, и) «а 7г(Ви, и), 'І и.
Положительные постоянные 0 < 7j < 7г называются константами эквивалентности В и — D; будем считать их известными. Итерационный процесс фактически реализуется так:
1) вычисляем г' = Dui — / (и1 — известно);
2) решаем уравнение Bv1 = г‘;
3) ВЫЧИСЛЯеМ Ut + l = Ui + XVі.
Формально процесс можно записать в виде
ui+i = ui + XB-iDui — xB~lf.
Алгоритм напоминает метод простой итерации с оператором B~lD. Ec-ли В и D неперестановочны, из самосопряженности В и D не следует самосопряженность B~lD. Однако это легко исправить. Так как
§ 14]
РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СЕТОК
169
В = Bt и В > 0, существуют операторы В112 и В 1/2. Сделаем замену переменных w = B112U и умножим формулу итерации на В112:
Bil2ui + i = B112Ui + XB112B-lDB-ll2Bll2Ui — xBll2B~lf,
т.е. w/+1 = Wi + XB-ll2DB-ll2Wi — xB~il2f.
Обозначим S = B-l,2DB~l/2. Легко видеть, что 5* = S и итерация может изучаться в виде w,+1 = wl + xSw' + /. Из предположения об энергетической эквивалентности можно вывести важный факт: спектр оператора 5 (в смысле 5<р = — Х<р) положительный и Y1 sS X < v2. В самом деле,
7t(Bu, и) *? (—Du, u)=>yl(Bl/2u, B112U) (-Du, и), V m
(так как B = B112Bil2, (В112)* = Bil2). Полагая Bil2U = w, имеем
Y1(W) w) < (-DB-it2W, B~l/2w) = (-BTil2DB-il2W, w),
т.е. V1 (w, w) H (—Sw, w), V w. Аналогично, из (—Du, и) H y2(Bu, и), V и следует (—Sw, w) S уг(w> 4O- Если Sw = -Xw, то (—Sw, w) = = X(w, w), т.е. X Є [V1, V2J-
Сведя исследование итерационного процесса с регуляризатором В к исследованию простой итерации с оператором S, можно воспользоваться уже знакомой нам теорией. В частности, если границы Y1
и уг близки друг к другу (т.е. оператор B~lD «хорошо обусловлен»), то в качестве оптимального итерационного параметра можно взять
і = 2/(Y1 + 'I2)' чт0 приведет к сходимости с множителем (у2 — Yi)/(Vi + У2) 33 0ДНУ итерацию. Правда, не следует забывать, что «цена» такой итерации зависит от затрат вычислительной работы на решение уравнения Bv = z. Если оператор B~lD «плохо обусловлен» (У2/У, ТО можно использовать чебышевское ускорение
и получить процесс, в котором средняя за итерацию эффективность соответствует множителю (1—2 VY1/V2).
Применение общей схемы. Конкретные итерационные алгоритмы получаются при конкретном выборе регуляризатора В. Приведем некоторые примеры.
Метод простой итерации. Он получается при B = E.
Метод переменных направлений (точнее, некоторые его обобщения). Он получается при выборе в качестве регуляризатора «факторизованной» конструкции
170
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч. I
(Напомним, что мы договорились производные понимать в смысле их простейших разностных аппроксимаций.) Оператор В легко «обращается». Решение уравнения Bv = z сводится к решению последовательности задач:
а) Ie-"'??)"'=2' б)
V = V
Каждая из этих задач расщепляется на серии «одномерных», легко решаемых прогонкой систем уравнений.
Здесь мы сталкиваемся с характерной ситуацией: конструкция оператора В содержит некоторые параметры (O1, а2 в данном случае). Вместе с параметром т они должны быть найдены таким образом, чтобы получить возможно более высокую скорость сходимости. Точный анализ сходимости в общем случае провести не удается. Поэтому задача «оптимизации параметров» обычно решается раздельно: сначала за счет выбора параметров регуляризатора стремятся уменьшить обусловленность S — величину V2/Vi. т-е- сблизить оценки в неравенствах энергетической эквивалентности операторов В и —D.
Теоретической предпосылкой для существования хороших оценок такого типа является известный факт из теории эллиптических операторов: два любых эллиптических дифференциальных оператора одного порядка энергетически эквивалентны друг другу. Следствием этого является и энергетическая эквивалентность их разностных аппроксимаций с постоянными уг у2, не зависящими по существу от шага сетки h. Рассматриваемый здесь факторизованный оператор В является, как легко заметить, аппроксимацией дифференциального оператора четвертого порядка (правда, вырожденного). Дифференциальные операторы разных порядков не могут быть энергетически эквивалентными. Это приводит к существенной зависимости констант Vi от h: l^2Zyl = 0(h~l) при «оптимальном» выборе O1, O2.
Попеременно-треугольный метод. В качестве регуляризатора используется факторизованный оператор