Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
На остальной части спектра сходимость, конечно, очень медленная. Так, компонента (1,1) погрешности убывает с показателем
1 — 2л;2т = 1 — 0.4(л/N)2 за шаг. В целом итерационный процесс оказывается неэффективным. Однако небольшое число таких итераций «сглаживает» невязку: высокие гармоники в ней гасятся, основную роль играет гладкая компонента.
Таким образом, после і итераций имеем приближение и‘, удовлетворяющее уравнениям
(А“‘)к,т-Л,т = rIm (внутри)
< т - Vt. т = 0 (Н3 Границе)
(это просто определение невязки г). Если бы мы могли решить уравнения
(amO*, m = rIm (внутри)
Wk, т — 0 (на границе)
то функция w была бы поправкой в том смысле, что точное решение ик, т — ик, т — hV, m- На первый взгляд, найти поправку w — задача такой же степени трудности, как и исходная. Ho после і итераций сх = 0.2Л2 ситуация изменилась: невязка г1 стала гладкой функцией и уравнение для поправки можно решать на другой, более грубой сетке.
Предположим для простоты изложения, что JV= 2*, и наряду с основной сеткой с шагом Л = I/N введем вспомогательную сетку с шагом Я=2Л. Узлы этой сетки совпадают с четными узлами основной сетки (т.е. с теми узлам» (к, т), цдя которых четны оба индекса кит). На этих сетках мы будем рассматривать близкие по смыслу функции — в этих случаях будем использовать одинаковые буквы для Я-сетки и Л-сетки (большие и малые соответственно).
Итак, имеем 1-е приближение U1k т и его невязку ГI т. Возьмем ограничение невязки на Я-сетку, т.е., проще говоря, Rk т = г2к 2т (к, m = 0, 1, ..., N/2), и решим на Я-сетке уравнение
(OW)km = Rkm
174
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[4-І
(с нулевыми значениями на границе). Здесь D — аппроксимация оператора Лапласа на H-сетке. Эта задача заметно проще исходной хотя бы потому, что в ней в четыре раза меньше неизвестных и число обусловленности для системы меньше (тоже в четыре раза). Тем не менее решение такой системы не настолько проще решения исходной задачи на Л-сетке, чтобы можно было пренебречь проблемой решения вспомогательной задачи. Пока будем считать, что вспомогательная задача так или иначе решена (приближенно, вообще говоря). Интерполируя (линейно по х и у, например) функцию W на узлы основной Л-сетки, получаем функцию Wffc т. Вычитая ее из
и‘, приходим к новому приближению й = и' — w.
Что можно сказать о невязке этой функции? Вычислим ее во внутренних узлах:
Ч т = (HUi - W))*, -Zttm = Гк т - (AW)* т.
Теперь вопрос в следующем: из того, что (DW) кт = т2к 2т, следует ли (хотя бы приближенно), что (Aw)t т » rlk m? Если да, то проведенная коррекция явно целесообразна. Вычисления (простые, но довольно
°00°о
о О ,/
О о
О
о
oO0Oo
О о
о
о к
D
-O-
« , ' ;¦ i> .4 к
- I\—t-f І І- І І І і Il I ' I I' I p \| -1 . A I / I \
w 'i \ ,1 »; w x' \> b 'i 't и «
r=Mu'-w\
Рис. 17
громоздкие) показывают, что ответ неоднозначен. Точнее, соотношение A г‘ выполняется «в среднем», в слабом смысле слова.
Поясним это на одномерном примере. На рис. 17 показаны этапы процесс^: а — гладкая на Л-сетке невязка г'; б — ее ограничение
РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СЕТОК
175
на //-сетку R; в — функция rk = А(и‘ — w)k. Обратим внимание на характер функции г: она в среднем близка к нулю и состоит, в основном, из негладких собственных функций. После этого очередная серия простых итераций с т = 0.2/г2 эффективно гасит невязку. Причина именно такой структуры г разъясняется ниже.
Итак, основная идея коррекции с помощью вспомогательной сетки состоит в том, что невязка из подпространства гладких сеточных функций «перегоняется» в подпространство негладких сеточных функций, где эффективно работает метод простой итерации.
Вернемся к вопросу о том, как решать задачу на вспомогательной //-сетке, ведь она немногим проще исходной. Ответ очевиден: для этого надо использовать свою 2#-сетку, для нее — 4//-сетку, и т.д. до тех пор, пока число узлов на очередной вспомогательной сетке не станет совсем уж незначительным. Однако окупит ли эффект ускорения сходимости затраты на вспомогательные вычисления? Ответ на этот вопрос не очевиден, он требует проведения сложных и достаточно аккуратных оценок.
Такие оценки были проделаны и было доказано (сначала для задачи Пуассона в прямоугольнике, затем для гораздо более общих и сложных эллиптических задач), что норма невязки убывает со скоростью, не зависящей от шага сетки, т.е. необходимое для ее уменьшения в є-1 раз число арифметических операций есть CAr2Ine-1 (С не зависит от N). Это асимптотически рекордный результат. При достаточно большом N описанные выше (и в сущности все остальные известные сейчас) методы уступают многосеточному. Однако постоянная С в этой оценке вычисляется настолько грубо, что лучше считать ее неизвестной.
Могло бы оказаться, что преимущество многосеточного метода по сравнению, например, с методом переменных направлений наступает при столь больших N, какие на практике не используются. Такие вопросы выясняются путем вычислительного эксперимента. Многочисленные реализации многосеточного метода и результаты вычислений показали, что метод оказывается эффективным уже на тех сравнительно скромных сетках (N порядка 50, 100), которые давно используются в практических расчетах.
