Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Дяр + Ц(?-?/(г))яр = 0. (1)
Здесь А — оператор Лапласа в сферических переменных г, 0, <р; (X, h — известные постоянные. Функция чр определена во всем трехмерном пространстве; «граничным условием» для нее является ограниченность гильбертовой нормы. В уравнении (1) подлежат определению те дискретные вещественные числа Е, при которых задача имеет нетривиальное решение (точки дискретного спектра оператора Шредингера).
Решение ищем в виде яр = Y1 т(9, y)R(r)/r, где Ylm есть известная сферическая функция (/, т — целые числа). Обозначая
Х = Це, V(г) = Ц и(г) +^Ц^-,
Й % г
получаем окончательную форму задачи:
^-(V(r)-X)R = 0. (2)
Уравнение (2) определено при 0 < г < оо. При г = 0 ставится условие R(O) = 0. Вторым условием является условие нормировки
CO
j/?2(r) dr = 1, (3)
о
182
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
имеющее важное следствие: оно определяет знак точек спектра Я; из него следует А < 0. В самом деле, при достаточно большом г потенциал V становится очень малым и решения уравнения (2) качественно совпадают с решениями уравнения R" + KR = 0, т.е.
/?(/•)« C1 + С2е~^.
Если Я > 0, это — функция типа sinVXr, что, очевидно, несовместимо с нормировкой (3). (Однако эти решения ограничены, поэтому все Я > 0 образуют сплошной спектр, которым мы не интересуемся.) Если Я < 0, нормировка достигается при C1 — 0.
Интервал [0 < г < оо ] можно (грубо) представить в виде двух частей. При г, близких к нулю, знак множителя V(r) — Я определяется
потенциалом V (г) и, так как U(r) < 0, может быть отрицательным. В этом случае решения уравнения R" = (V — Я)R имеют колебательный характер. При больших г знак множителя V (г) — Я определяется величиной (—Я) > 0, т.2Г. функция R(r) имеет экспоненциальный характер типа е~Г'Г-^ (рис. 18), причем, как мы увидим в дальнейшем, в расчетах придется иметь дело с достаточно большими значениями H| Я|.
Чтобы правильно оценить целесообразность метода, который будет изложен ниже, начнем с анализа трудностей, встречающихся при попытке решения задачи стандартными средствами. Используем метод «пристрелки». Значение R(O) =0. Зададим R1(O) произвольно, например R'(0) = 1, и решим (приближенно) задачу Коши для уравнения (2), считая Я тем или иным образом заданным.
Таким образом, мы имеем функцию R(r, Я). Искомые собственные значения — это те дискретные величины Я, при которых функция R(r, Я) при г-> оо имеет асимптотику Се~г^~\ т.е. не содержит второй растущей компоненты общего решения. На практике просто назначают достаточно большое значение г* и ставят условие R(r', Я) = 0. Это есть уравнение для собственных значений, которое решается, например, методом Ньютона или просто подбором: при Я1 получаем R(r*, A1) > 0, при Я2 имеем R(r*, X2) < 0, возьмем Я3 = 0.5 (Я1 4- Я2), и т.д.
Однако численная реализация этой процедуры наталкивается на серьезные затруднения. Дело в том, что на экспоненциальном участке решение задачи Коши неустойчиво. Малое отклонение численного решения от точного приведет к появлению в решении KOM-
Рис. 18
СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
183
поненты (пусть даже с малым коэффициентом C1), и при
больших г эта компонента станет основной частью, решения. Кроме того, погрешности численного интегрирования в этом случае также дают вклад в приближенные решения порядка hper^~^ (h — шаг численного интегрирования, р — порядок точности используемого метода).
Трудности подобного рода преодолеваются методом прогонки. В этом случае решение ищется в виде «прогоночного соотношения» R(r) = a(r)R'(r). Для искомой функции а(г) легко выводится (см. § 9) уравнение
a' = I - a2(v{r) - X).
Левое краевое условие очевидно: а(0) = 0. Условием на правом конце является условие выхода на асимптотику R <*> которое
можно аппроксимировать условием а (г*) = —l/у/—к. Реализация такого подхода связана с двумя затруднениями. На участке, где V(r) — Я < 0 и решение имеет колебательный характер, обязательно есть точки г, в которых R' = 0 и, следовательно, а =
Ha участке, где R(r) экспоненциально убывает, тоже возникают осложнения. Разберемся в существе дела, пренебрегая величиной V(г) по сравнению с X. Уравнение а' = 1 — |Я|а2 имеет два положения равновесия: а—± 1/V | Я| . Несложный анализ поля направлений показывает, что ветвь a =JVVJXf является асимптотически устойчивой, а ветвь а = — 1/V | Х \ , наоборот, — неустойчивой. Нужно попасть именно на эту вторую ветвь.
Перейдем к описанию алгоритма, справляющегося с этими трудностями, — к алгоритму тригонометрической прогонки. Перед изложением существа дела сделаем несколько замечаний о характере вычислительной проблемы. Для приложений необходимо несколько первых собственных значений (нумерация собственных значений делается в порядке возрастания |Я*|). Такие расчеты надо делать для нескольких I, т.е. задачу нужно решать многократно. Следовательно, алгоритм ее приближенного решения должен быть достаточно эффективным, экономичным. Оператор (2) самосопряжен, поэтому все Xk действительны. Напомним еще осцилляционную теорему: естественная нумерация собственных значений связана с числом нулей функции R(r).
