Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
4. Операторы (разностные) D1, D2 имеют общую систему собственных функций, что, как известно, эквивалентно их перестановочности: DyD1 = D2D1. Этот важный факт существенно определяет возможность обобщения приведенной выше теории.
Если перевести приведенные формальные признаки на содержательный язык применительно к эллиптическим уравнениям второго порядка, то мы получим следующий класс уравнений, простейшие разностные аппроксимации которых имеют нужные свойства:
а) уравнение
внешняя нормаль, а, р — постоянные, свои на каждой стороне прямоугольника.
В сущности это — случай, когда работает разделение переменных. Мы не обсуждаем известных в теории эллиптических задач условий на Cii, Ь', обеспечивающих знакоопределенность операторов
Мы применили грубую теорию, в которой границы спектров DvD2 взяты в виде / = min (I1, I2), L = Jnax(LvL2). В точной теории Золотарева—Вашпресса используются свои границы спектров для Di, D2.
Первое собственное число разностного оператора часто уже при не очень больших N почти совпадает с соответствующим собственным числом аппроксимируемого дифференциального оператора. Для его приближенного вычисления можно привлечь весь арсенал аналитических оценок. В частности, можно заменить переменные коэффициенты дифференциального оператора на средние значения и вычислить аналитически первое собственное число оператора с постоянными коэффициентами.
При оценке верхней границы L используется другое соображение. Известно, что для любой матрицы {а; j} оценкой любого собственного числа сверху является max ^ Iai у | • В нашем случае в
каждом узле схемы следует просуммировать модули коэффициентов разностной схемы и взять наибольшее (по узлам сетки) значение
б) область — прямоугольник,
в) достаточно общие краевые условия: а + $и = <р; здесь п —
j
РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СЕТОК
167
такой суммы. Для оператора Лапласа, аппроксимированного по пятиточечной схеме, получим значение L = 8/Л2, почти не отличающееся от точного: L = (8/А2) cos [я(/У — 1)/2^]."
Величину L можно оценить и снизу, используя известное соотношение Рэлея для самосопряженных матриц D (операторов). Для любого собственного числа X имеем
(Du, и) , (Du, и)
mm , \ s? X sS max . . .
и (и, и) и (и, и)
Эти соотношения часто применяют для оценок границ спектра. Они эффективно работают в том случае, когда имеется априорная информация о том; какую форму имеют собственные функции, соответствующие крайним точкам спектра. В частности, максимальному (по модулю) собственному числу разностной аппроксимации оператора А (и других аналогичных операторов) соответствует сеточная функция типа uk т = (—1)*+т. Для оценки можно взять даже функцию, равную —1 в одном узле сетки и +1 в четырех соседних узлах, в соответствии с шаблоном пятиточечной схемы. Предоставим читателю проверить, насколько близко к верхней оценке L = 8/Л2 будет отношение Рэлея на такой пробной функции.
Как было указано выше, теория выбора итерационных параметров и оценка эффективности работают лишь в случае разделения переменных. Однако сама схема формально применима и в более общей ситуации, например при уравнении вида
_э_
дх
аг(х> У) -57 + с(х, у) и = f(x, у).
Для краевых условий первого рода (задано и на границе области) форма области более или менее безразлична: простейшие разностные аппроксимации операторов Di, D2 включают точки только одной горизонтали (вертикали) и краевые условия этого обстоятельства не нарушают. Если область — прямоугольник (или объединение прямоугольников), допустимы краевые условия третьего рода: в них входит нормальная производная, а при ее аппроксимации используются точки той же горизонтали (вертикали) сетки (если опустить тонкую проблему аппроксимации в угловой точке границы).
Если граница области не проходит по координатной линии сетки, нормальная производная аппроксимируется по шаблону, захватывающему как минимум две соседние горизонтали (вертикали) сетки. Такие краевые условия препятствуют непосредственному расщеплению уравнений «на верхнем слое» метода переменных направлений и прямое обобщение вычислительной схемы не проходит. Что касается выбора параметров, то они, естественно, рассчитываются для системы с «замороженными» коэффициентами (в качестве таковых берут, например, средние значения) и для минимального прямо-
168
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[4-І
угольника, содержащего данную область. Опыт показывает, что такой способ часто приводит к успеху (к быстрой сходимости итераций), особенно когда коэффициенты уравнения изменяются не очень сильно. Однако при появлении в уравнении смешанной производной Urv отказывает не только теория сходимости, но и алго-
Xy
ритмическая схема. Что делать в этом случае?
Общая схема итерационных процессов. Пусть D — разностная аппроксимация общего эллиптического самосопряженного дифференциального оператора. И пусть разностная аппроксимация выбрана так, что D = D* (сохраняется самосопряженность). Нужно решить уравнение Du = /.
