Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
таким образом, чтобы ряд J ак суммировался аналитически, а остаток J ак был быстро сходящимся. Подобрать такое разбиение — это уже искусство. Поэтому в данном случае говорят не о методе, а о приеме. В следующем ниже алгоритме потенциал U(x, у) нужно вычислять в каждом узле сетки, что вынуждает использовать относительно грубые сетки.
В расчетах с успехом был использован характерный для задач с особенностями прием регуляризации, или выделения особенности. Он основан на том, что часто бывает известно решение близкой
задачи, содержащее такую же особенность. Решение ищется в виде
/ 2 2
9(^,^) = 5(^,^)1^(^,3'), где S= e~Sx +у . Смысл замены переменных заключается в том, что функция S удовлетворяет уравнению
—AS = (I - INx1 + /)5,
отличающемуся от (7) младшими дифференциальными членами. Другими словами, особенность в потенциале INx2 + у2 порождает в решении слабую особенность типа S(x, у). Поэтому ищем решение, уже содержащее такую особенность, полагая, что после замены переменных искомая функция тр должна быть гладкой.
В результате простых преобразований, которые мы опустим, получаем для Ц) уравнение
Lk^= ЯЦ), где дифференциальный оператор
*¦*'-л+2И?в-+ Яб7Ц ~ [т&-Щх- у) - *) --2і(*.?+*4)+2іІ|іг+<‘ї+‘^
«Потенциал» 1/\х'+у2 — U(x, у) — 1 особенности при х = у = 0 уже не имеет. Коэффициенты типа x/Vx2 + у2, y/Vх2 + у2 также остаются ограниченными всюду. Заметим, что для функции Ц)(х, у) краевые условия не являются условиями периодичности, как это было для ф(х, у).
202
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. и
Чтобы иметь дело с хорошо освоенной в вычислениях периодической задачей, будем трактовать замену переменных следующим образом.- Мы имеем уравнение #<р = А<р. Используя замену ip =
получаем Ly — Ятр. Обратная замена = е^х +у <р дает
e-V7T7LeV7T7(p = Я(р, те я= e-V7T7LeV7+7.
Практически это следует понимать так. Расчет ведется в терминах срт п — периодической, но «негладкой» функции, которая имеет
«особенность» типа е~^х2+у2. Действие на нее оператора H состоит
/ 2 2
из следующих операций. Функция <р умножается на е +-v и превращается в гладкую функцию. На эту гладкую функцию действует разностный оператор, аппроксимирующий дифференциальный оператор L. Затем результат умножается на
g-V* +у _
Относительно
оператора H известно, что он самосопряженный.
Для вычисления главной собственной функции и собственного числа оператора H применяется степенной метод с регуляризатором В и параметром т:
в41IzjL = (я- Xі е) xl+l = (я<р'+1, <р,+1)/(У+1, <р'+1),
или
фі+1 = фі + хВ~\Н- XiE) <р'.
Здесь і — номер итерации. В качестве оператора В использовались В\=Е, B1^ ^Е-а?2^Е-а?-2у В3=(Е-оА).
Разумеется, имеется в виду разностная аппроксимация дифференциального оператора. Оператор B2 легко обращается (сначала прогонкой по х, затем по у). При этом используется периодическая прогонка А. А. Абрамова (см. § 18). Параметр а подбирался экспериментально. Обращение оператора B3 выполнялось с помощью быстрого преобразования Фурье (см. § 24).
Таблица 12 показывает сравнительную эффективность разных методов (г — число итераций для достижения заданной точности, t — машинное время, расходуемое на выполнение одной итерации; во всех расчетах погрешность є = IO-3). Расчеты, проведенные для разных сеток, показали, что собственные числа практически не зависят от N даже при сравнительно грубых сетках (типа 10 х 10). Это, конечно, — эффект удачной «регуляризации», т.е. аналитического выделения особенности.
Отметим, что особенность вводится в решение «мультипликативно», а не «аддитивно» (т.е. в решении используется замена типа
§ 16] ГЛАВНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 203
/ 2. 2
Ф = e~Vx +у а не замена типа <р = ip0 + Ц), где <р0 — известное решение с особенностью). Это связано с характером вхождения особенности в уравнение: особенность входит в потенциал, умножаю-
Таблица 12
в Bi B1 B2 B2. B2 B2 B2 B3 B3
а - - - 0.05 0.025 0.0167 0.01 0.005 1 1
N 11 15 20 11 11 11 11 11 16 32
і 125 232 412 60 41 35 32 37 3 3
t 0.1 0.2 0.35 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.5 6
щийся на <р. Если бы особенность входила в правую часть или в краевые условия («аддитивно»), то выделение ее в решении носило бы аддитивный характер (см. § 14).
Исследование устойчивости стационарного состояния. Другим источником главных спектральных задач является важная в приложениях проблема устойчивости некоторых состояний среды. В общих чертах возникновение такой задачи можно представить в следующем виде. Временная эволюция некоторой системы описывается дифференциальным уравнением
d-^=L(u), t>0, и(0) = и0,
где L — нелинейный дифференциальный оператор. (Уравнение дополнено краевыми условиями, которые мы явно в наше достаточно поверхностное изложение не вводим.) Пусть состояние и0 стационарное, т.е. L(u0) =0, и функция u(t) = и0 (на самом деле от t не зависящая) является решением уравнения. Предположим, что по каким-то причинам мы заинтересованы в длительном существовании этого состояния.
