Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Реальная расчетная формула (метода Эйлера, для определенности) в действительности при реализации на ЭВМ имеет вид
*„+1 = + х/(*„) + V
64
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
Величина гп обычно определяется погрешностью округления при машинном представлении хп, т.е. имеет величину 10~г|х| (г = 12 на БЭСМ-6, г = 6-5-7 на ЕС, г = 16 на ЕС при двойной точности). Погрешность округления т/, если / вычисляется с машинной точностью, несущественна, так как обычно | т/| <*: | х\ (х мало меняется за шаг). Ho если функция / вычисляется сложным алгоритмом, ее погрешность может определять величину ?„.
Таким образом, машинная вычислительная формула имеет вид
<+! = < + */Ю(і + *6+
где 6 — относительная погрешность вычисления /, Tj — относительная погрешность представления х. Можно трактовать эту формулу как точную с погрешностью вычисления /. И теперь ясно видно, что, начиная с некоторых малых величин, дальнейшее уменьшение х приводит к падению точности.
Интегрирование уравнений высокого порядка. Пусть требуется проинтегрировать уравнение г
— = /(х), х(0), ..., х(0) заданы.
He составляет труда построить разностное уравнение:
, +6* — 4*„_. + ?, . х '
л+2 п+1 п Zf l ч
T4 "
Данные Коши позволяют вычислить значения х0, X1, х2, х3, по ним находим х4, затем х5 и т.д. Однако здесь конечная разрядность машинной арифметики имеет еще худшие последствия. Машинная расчетная формула имеет вид
*п+г = 4хп+1 - 6хп + 4,-1 - *„-2 + xV(Xl) + 111XI.
Таким образом, погрешность округления ^ | х | эквивалентна погрешности вычисления / порядка ti|x|/t4. К счастью, есть простой выход — переход от уравнения четвертого порядка к системе уравнений первого порядка:
Xj=X2, X2=X3, X3=X4, х4 = /(х*).
Именно по этой причине теория численного интегрирования строится для систем уравнений первого порядка.
Замечание. Выше без определений были использованы некоторые понятия (аппроксимация, точность и т.п.). Смысл их достаточно прозрачен. Он уточняется в следующем параграфе.
§6]
АБСТРАКТНАЯ ФОРМА ПРИБЛИЖЕННОГО МЕТОДА
65
§ 6. Абстрактная форма приближенного метода
Приближенное интегрирование задачи Коши послужит нам удобным примером, на котором можно будет ввести основные объекты общего приближенного метода и установить связи между ними. Настоящий параграф носит, так сказать, идеологический характер, в нем появляются фундаментальные понятия теории приближенных методов вычислений.
Итак, мы исходим из задачи, записанной в общей форме:
Здесь Sf — искомый элемент- некоторого функционального пространства X, ^ — некоторый заданный элемент пространства F, L — оператор, отображающий XbF (У мы будем называть иногда «правой частью уравнения»). Приближенное решение задачи (1) тем или иным способом сводится к решению уравнения
Здесь х$ — искомый элемент некоторого конечномерного пространства Xs, Srs — элемент другого конечномерного пространства Fs, Ls — оператор, отображающий Xs в Fs.
По существу (2) есть конечная система (вообще говоря, нелинейных) уравнений. Поясним смысл индекса s (символ «сетки» в обобщенном смысле слова). Наличие индекса s связано с тем, что в теории численных методов мы имеем дело не с одной задачей (2), а с бесконечной последовательностью задач, с целым семейством, s — параметр семейства (который может быть не только скалярным, но и векторным). При интегрировании задачи Коши в роли параметра выступает шаг сетки т. Нас будет интересовать предельный переход при S-* 0, т.е. точное решение S? задачи (1) должно быть пределом решений систем (2) при s-*0. Однако еще предстоит ввести процедуру сравнения Sf и xs, ведь это элементы разных пространств.
Следующий элемент приближенного метода — некоторый оператор Ps, отображающий Х в Xs. Мы еще вернемся к обсуждению этого оператора. Можно вычислить элемент Sfs = PsSf Є Xs и подставить его в уравнение (2). Конечно, Sf s не удовлетворяет уравнению (2), и появляется новый важный объект— невязка, или погрешность аппроксимации,
Теперь можно установить связь между уравнениями (1) и (2). Пока что у них не было ничего общего, кроме использования одинаковых букв (L, Sr и т.д.).
L(Sf) =
(1)
(2)
(3)
3 — 1833
66 ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [Ч. I
Определение 1. Говорят, что семейство задач (2) аппроксимирует уравнение (1), если
||rs||-»0 при s 0. (4)
Если, кроме того, установлена оценка
||rs|| < C1I s|p (C1 не зависит от s), (5)
говорят, что аппроксимация имеет порядок р по s. В общем случае s есть набор малых параметров, ар — соответствующий набор показателей.
Отметим важное требование: оценка (5) — равномерная на семействе Задач (2), т.е. C1 — универсальная для всего семейства постоянная. Если имеет место факт аппроксимации, значит уравнения (1) и (2) уже имеют между собой много общего, так как решение исходной задачи (1) в некотором смысле является «почти решением» уравнения (2).
Дальнейшее основано на следующем соображении. Приближенное решение xs и образ точного решения s удовлетворяют близким уравнениям: одно — уравнению (2), а второе — почти такому же уравнению, но с мало измененной правой частью (тем меньшей, чем меньше s):
