Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Ls(^s) = ^ + гг.
Можно надеяться, что их решения xs и Sfs мало отличаются друг от друга. Для того чтобы это было так, нужно предположить семейство задач (2) устойчивым в следующем смысле.
Определение 2. Говорят, что семейство задач (2) устойчиво, если из отношений
следует
И*,-у,11«с2(11У + 1К||).
(Здесь подчеркнем равномерность оценки: C2 не зависит от s.) И наконец, дадим еще одно определение.
Определение З. Говорят, что приближенное решение Xs задачи (2) сходится при S-* 0 к решению исходной задачи (1), если
II*, —<*',11'* О ЛРИ S-+0-
Если установлена оценка
Кxs — ^sIl ^ Clsl9 (С не зависит от s),
говорят, что сходимость имеет порядок д.
Выше мы ввели три фундаментальных понятия теории приближенных методов: аппроксимация, устойчивость и сходимость. Связь
§6]
I
АБСТРАКТНАЯ ФОРМА ПРИБЛИЖЕННОГО МЕТОДА
67
между ними устанавливает теорема «аппроксимация + устойчивость => сходимость».
Теорема. Пусть приближенная задача (2) аппроксимирует исходную задачу (1) и семейство задач (2) устойчиво. Тогда приближенное решение Xs сходится к решению исходной задачи Sf. Если аппроксимация имеет порядок р по s, то и сходимость имеет тот же порядок.
Доказательство. Приближенное решение х$ находится из уравнения Ls(Xs) — ZFs = 0, а образ точного решения 3?s = PsSf — из уравнения Ls(Sfs) — ^s = rs, причем в силу аппроксимации
HrsII ^ C1I s |р. Тогда из предположения об устойчивости немедленно следует
Ilxs -SfsW «Е C1C2M'. (6)
«Доказательство» закончено. Заметим, однако, что здесь есть еще один вопрос: что нам дает оценка (6)? Ведь нас интересует связь между xs (это то, что вычислитель имеет, если он умеет решать задачу (2)) и Sf (это то, что его интересует). Непосредственно сравнивать элементы разных пространств мы не можем. Значит, для того чтобы сходимость (б) была содержательно ценным фактом, нужно предположить какие-то важные свойства оператора Ps. Грубо говоря, он должен быть в некотором смысле «обратимым», более того, еще и «непрерывно обратимым». Это означает, что по Sf s мы должны уметь восстанавливать Sf. Реально же
мы будем восстанавливать функцию Sf по приближенному решению xs, мало отличающемуся от Sfs. Выше не случайно были использованы кавычки, так как в строгом смысле слова операторы Ps просто необратимы. Тем не менее сделанные для Ps естественные предположения о «непрерывной обратимости» в дальнейшем приобретут некоторое обоснование.
Приведем простые примеры операторов Ps. Нас больше всего будет интересовать оператор «ограничения функции на сетку» Rs (CM. § 3).
В задаче Коши такой оператор строится очень просто. Пусть {*»}«-<> — сетка на интервале [0, Т], a Sf (t) — определенная на этом интервале функция. Тогда PsSf определяется как таблица чисел = 0> гДе (Здесь S — символ сетки, или, если угодно,
ее шаг т; если сетка неравномерная, то M = max | tn+l — tn |.) «Об-
П
ратным» к Rs будет тот или иной оператор интерполяции, который по таблице {3?п} строит непрерывную функцию Sf(I) (разумеется, не
68
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
совпадающую с ^(і), но близкую к ней при выполнении некоторых предположений oST(t)).
Рассмотрим еще один пример оператора Ps. Пусть функция Sf (Ї) разлагается в ряд Фурье:
CO
ar(t) = ]Г Ck еІШІТ.
k = — cO
Тогда PsSf определяется как конечномерный вектор {Ck}%=^N. (Здесь под малым параметром s можно понимать I ZN.) «Обратный» к Ps оператор очевиден: это конечная сумма
N
* (0 =2 Ск е1ЫШ.
k*=—N
Очевидно, что оба оператора Ps необратимы в строгом смысле слова (на всём пространстве функций). Ho они «почти обратимы» на подпространстве гладких функций. Оператор ограничения на сетку Ps = Rs в качестве «обратного» имеет тот или иной интерполяционный аппарат, и смысл термина «почти обратим на гладких функциях» разъяснен в § 3. Такое его обращение сопровождается потерей информации, зависящей от вида интерполяции и гладкости функций. Во втором примере оператор Ps обратим на подпространстве конечных сумм Фурье (Cfc = О при I &| > Ar), почти обратим (с малой потерей информации) на подпространстве гладких функций (у которых часть ряда Фурье с |&| >N пренебрежимо мала).
Замечание 1. Внимательный читатель, наверное, обратит внимание на то, что погрешность аппроксимации, как невязка в уравнениях приближенного метода при подстановке в них PsSf, не определена однозначно, так как эти уравнения можно записать в тривиально эквивалентных разных формах, от которых, однако, существенно меняется невязка. Например, уравнения метода Эйлера можно записать в таких формах:
I
x^On-H - *„) = /(*«)’ *„ + ! = Xn + T /(*„),
т f*„+i -хп~ X /(*„)] ^=O,
и т.д. Это одно и то же, но невязка имеет оценки О(т), 0(t2), 0( т3) соответственно.
В принципе, здесь нет ничего страшного — ведь в теорию входит произведение оценок аппроксимации и устойчивости. Ум-
§6]
АБСТРАКТНАЯ ФОРМА ПРИБЛИЖЕННОГО МЕТОДА
69
ножая уравнение на т, мы «выигрываем» в аппроксимации, но ровно столько же проигрываем в устойчивости. Однако принято устранять эту неоднозначность, выбирая из всех форм ту, которая в пределе х -»0 переходит в решаемое дифференциальное уравнение, и относительно такой нормировки считать порядок аппроксимации. He будем давать строгих определений для абстрактной формулировки задачи. Вышесказанного достаточно, чтобы в любом, практически, случае была выбрана «каноническая» форма записи уравнений приближенного метода (имеются в виду в основном методы конечно-разностного типа).
