Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
-1
Полиномы Чебышева близки к известному хорошему базису — тригонометрическому и, в сущности, совпадают с ним с точностью до замены независимого переменного х = arccos I. Дело стало только за «ценой» вычисления Tp(t). Ho и здесь ситуация достаточно благоприятная: существует удобная рекуррентная формула, позволяющая очень дешево вычислить в какой-то точке t последовательность T0(t), T1(I),...: - .
TqO) — I) T\(ty=f t, ..., WO^T^)-WO-
f P , '
Таким образом, вычисление ^ ак ТкЦ) стоит, как нетрудно под-
It = O
считать, примерно 2р умножений и Ip сложений.
§ 4. Вычисление определенных интегралов
Речь пойдет об Одной из самых распространенных в анализе операций — вычислении определенного интеграла
ь
S т it.
а
Весьма общий подход состоит в том, чтобы аппроксимировать функцию fit) какой-то другой функцией fit}, для которой интеграл вычисляется аналитически. Итак, строим fit) с оценкой
1/(0 -7(01 «е, Vreta, Ь],
и полагаем приближенно
ь ь
J fit) dt &\f it) dt
а а
с очевидной оценкой погрешности E(Ъ — CL).
Введем на Ia, Ъ] сетку {tk}*=Q и таблицу {/„}*=0, являющуюся ограничением подынтегральной функции / на сетку. Рассмотрим несколько простых вариантов построения /, приводящих к широко распространенным формулам.
§ 4] ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 49
1. Функция 7(0 строится как кусочно-линейная интерполяция {/«}«=о на равномерной сетке с шагом г = (b — a)/N. Очевидно, что
\ 7(0 dt =Y 0.5 (/„ + /„+1) t =
= х (0.5 /0 + Zj + /2 + ••• + /jv—1 + 0-5 /лг)* Эта формула известна как формула трапеций. Формулы такого сор-та Cnfnj называют механическими квадратурами, Cn — коэффициентами (весами) квадратуры, tn — ее узлами.
Точность формулы _ трапеций зависит от гладкости /. Если / Є Lip(C), то 1/(0 —7(01 <0.5Сх и погрешность формулы трапеции не превосходит 0.5Сх(Ь — а). Если / на [а, Ь\ имеет вторую производную, ограниченную числом С, то линейная интерполяция на каждом малом интервале есть интерполяционный полином первой степени: |/(0 — 7(01 ^ 0.5т2С и погрешность формулы трапеций не превосходит 0.5х2С(Ъ — а).
2. Еще более популярна формула Симпсона. Она так же строится на основе равномерной сетки, содержащей четное число интервалов. Находится таблица {/„}^0 и 7(0 строится как кусочно-квадратичная интерполяция, т.е. на каждой паре интервалов ihn’ hn+u hn+г) по значениям /2п, f2a+l, /2п+2 строится интерполяционный полином Лагранжа второй степени.
Несложные выкладки дают
*г»+г
J 7(0 dt = |(/2„ + 4/2п+1 + f2n+2).
fZn
Суммируя для п = 0, I, ..., N- 1, получаем ь N-1
S 7(0 dt = -Ь ? (f2n + 4/2„+1 + /2п+2) =
а п = 0
= | Uo + 4A + V2 + 4/3 + ... +2f2N_2 + 4/2ЛГ_, +/2Лт).
Формула легко запоминается, ее точность легко оценивается. Если функция / имеет третью производную и I/"'(01 «? С, то
17(0 —/(01 ^ Сх3/3 и погрешность формулы Симпсона не превосходит Cx3(Ь — а)/3, X = (Ь — а)/IN.
Однако теоретические оценки не очень популярны среди практиков. Если нужно вычислит*, интеграл с погрешностью ?, то мало кто
/
50 ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [Ч. I
сначала оценит третью производную функции / и вычислит шаг сетки т = [(Зе/С(Ь— я))]1/3. Дело, конечно, в том, что сама оценка завышена и тем более завышена константа С, особенно если функция / задана сложным алгоритмом. Поступают иначе. Вычисляя интеграл с небольшим числом узлов (N= 2 -г- 3), получают число
вычисляя интеграл с удвоенным N, получают, 52Лг. Если модуль I S2n — Sn і < є, число S2n считают ответом с\требуе-мой точностью. В пробивном случае вычисляют еще S4jv и сравнивают IS4jv--S2jvI <\е, и т.д. Нужно иметь в виду, что для гладких функций / часто интеграл вычисляется очеш» точно при неожиданно малом числе узлов.
Поясним на конкретном примере полезный прием, позволяющий заметно повысить точность ответа, когда известны SN, S2n, ... (это так называемая экстраполяция Ричардсона). Вычислим, например, г
\<? dt = e2- 1 = 6.389056098.
о
В табл. 5 представлены {/„} и коэффициенты квадратур Симпсона Cn для N, равных 1, 2, 4. По таблице легко вычисляются значения
S1 = 6.42072776, S2 = 6.391210176, S3 = 6.3891937.
Относительные погрешности этих величин суть 0.5, 0.03, 0.002 %. Для многих инженерных приложений даже погрешность 0.5 % считается малой.
Экстраполяция Ричардсона. Вычисление значений Sn для нескольких N открывает возможность в качестве «бесплатного приложения» получить значительно более точное значение интеграла. Это достигается простой процедурой экстраполяции полученных значений. Идея очень проста. Пусть для величины S имеются приближенный метод вычисления с малым параметром т и теоретическая
оценка S = St + Cxp + о(хР). Постоянная С, конечно, неизвестна, порядок же погрешности р известен.
Таблица 5
*» fn N = 1 N = 2 TV= 4
0 1.00000' 1 1 1
0.25 1.2840254 4
0.5 1.6487213 4 2.
0.75 2.1170000 4
1.0 2.7182818 4 2 2
1.25 3.4903425 4
1.5 4.4816891 4 2
1.75 5.7546026 4
2.0 7.3890561 1 1 1
§4]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
