Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Поясним сказанное. Многие задачи математической физики ставятся следующим образом. В некоторой заданной области изменения независимых переменных (для определенности, х и у) надо найти функцию из заданного функционального пространства W, удовлетворяющую некоторым уравнениям (включая краевые условия). Пространство W обычно определяется как множество функций, имеющих ограниченные (в той или иной норме) производные. Хорошая математическая теория данного класса задач стремится определить пространство W возможно более узким, в котором, однако, решение еще существует (сужение пространства, обычно достигается увеличением порядка ограниченных производных).
Приближенное решение ищется в подходящем конечномерном пространстве, и его нужно строить минимальным, но содержащим функцию, достаточно близкую к искомому решению исходной задачи. Возникает задача аппроксимации различных функциональных пространств, причем требуется именно хорошая аппроксимация, определяемая возможно меньшим количеством информации. В этом смысле классическая теорема Вейерштрасса о возможности сколь угодно точно аппроксимировать произвольную («измеримую») функцию полиномом достаточно высокой степени практически мало полезна. Если функция не слишком гладкая, такая аппроксимация требует слишком высокой степени полинома и оказывается нерациональной.
Теперь рассмотрим одну, интересную саму по себе задачу математической физики — задачу Пуассона. В некоторой заданной об-
42
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[4-І
ласти G в плоскости (х, у) нужно найти функцию и(х, у), удовлетворяющую уравнению
э2 и - а2 и ,, ч TT + TT -/(*> У).
где / — заданная «правая часть». Кроме того, функция и должна принимать заданные значения (для простоты, и = 0) на границе области. В такой постановке решение следовало бы искать в классе W дважды непрерывно-дифференцируемых функций. Однако в этом слишком узком пространстве решение задачи не всегда существует. Решения, называемые «классическими» (т.е. имеющие непрерывные те производные, которые входят в уравнение, и удовлетворяющие уравнению в прямом смысле слова), существуют при ограничениях на правую часть, слишком стеснительных для практики и часто не выполняющихся.
Приемлемым оказалось следующее расширение W, при котором сама задача трансформировалась в вариационную: найти функцию и(х, у), непрерывную и имеющую кусочно-непрерывные первые производные, из условия
min t ( (игх + игу — Ifu) dx dy.
u{-)ew G
При численном решении задачи Пуассона возникает задача моделирования, аппроксимации указанного выше функционального пространства W. На ней мы и продемонстрируем важную в вычислительных, методах технику интерполяции конечными элементами.
Построим сначала триангуляцию области G, т.е. покроем ее сетью треугольников, каждые два из которых либо совсем не пересекаются, либо имеют только одну общую вершину, либо — общую сторону. Можно говорить, что G покрыта сеткой точек, каждая из которых находится только в вершине упоминавшихся выше треугольников (рис. 5). Построение триангуляции — не такая уж простая задача, особенно при большом числе узлов сетки. Выполнение этой работы вручную иногда становится просто непосильным: ведь в современных расчетах число узлов достигает тысяч, десятков тысяч. А если иметь в виду «триангуляцию» трехмерной области (покрытие ее сетью тетраэдров), работа становится почти невыполнимой. Поэтому процесс триангуляции нужно алгоритмизировать.
Один из популярных алгоритмов состоит в следующем. Задается (вручную) грубая триангуляция области, включающая сравнительно небольшое число треугольников. Каждый треугольник разбивает-
§3]
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ
43
ся на четыре: к имевшимся ранее вершинам треугольников добавляются точки на серединах сторон начальных треугольников. Этот процесс повторяется, и после нескольких таких «циклов» получается достаточно густая сетка, область триангулирована достаточно мелкими треугольниками. Заметим, что некоторые треугольники могут быть и криволинейными, но конечная триангуляция состоит только из обычных треугольников. Это, конечно, приводит к триангуляции не исходной области G, а некоторой ее аппроксимации. На рис. 5 показан процесс построения триангуляции (линии, возникающие на разных его этапах, имеют разные обозначения).
Рассмотрим один из треугольников и сеточную функцию, определенную в его вершинах, занумерованных индексами (1, 2, 3). Сеточная функция — это три числа U1, иг, и3. Теперь решим задачу «интерполяции» такой функции, т.е. построим функцию, определенную внутри треугольника. Построим в нем интерполяционный базис из трех функций ф,(х, у), f2(x, У)> ^3(^1 у)> линейных по х и у, равных единице в «своей» вершине треугольника и нулю в остальных двух. Тогда интерполяция внутри треугольника выполняется по очевидной формуле
3
И(*. у) = 2 ИІ Ч>|(*> у). (13)
і=і
Пусть {un}*=1 — сеточная функция, определенная во всех узлах триангуляции. Используя в каждом треугольнике интерполяцию (13), получаем в G функцию и(х, у). Она, очевидно, непрерывна и имеет кусочно-непрерывные (а точнее, кусочно-постоянные) первые производные. Каждый треугольник, оснащенный своим базисом, называют конечным элементом.
