Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Федоренко Р.П. -> "Введение в вычислительную физику" -> 22

Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику — М.: Физ-тех, 1994. — 528 c.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка): vvedenievvichesleniyah1994.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 210 >> Следующая


При переходе к вычислению интегралов по кубам большей размерности применяется другой метод, получивший название метода Монте-Карло. Он состоит в том, что с помощью специальных быстро работающих алгоритмов генерируется последовательность «случайных» точек единичного n-мерного куба xl, X2, ..., Xм Є Rn, в каждой точке вычисляется значение f т = f(xm), и в качестве приближенного значения интеграла принимают величину M~l ^ /т.

т

Что касается алгоритмов, генерирующих случайные точки (соответствующие программы называют «датчиками случайных чисел»), то их разработка — отдельная достаточно тонкая наука. Эти точки должны быть «равномерно распределены» в /г-мерном кубе, т.е. они не должны «сбиваться в кучу» и оставлять в кубе «пустрты», в которые долго не попадают генерируемые точки.

Можно еще иначе пояснить требование равномерности распределения случайных точек. Выделим в кубе некоторую часть сг не слишком причудливой формы и не слишком малой меры. Тогда число точек последовательности л;1, х2, ..., хм, попавших в а, должно быть близко к M mes а и не только асимптотически (при M-* оо), но и при конечных, не слишком больших М. Разумеется, если мера mes а мала, такое свойство проявляется лишь при очень больших длинах последовательности случайных чисел (поскольку случайные числа выдает программный датчик,' работающий детерминированно, их называют псевдослучайными).

Ограничимся этим поверхностным описанием, дающим самое общее представление о важном разделе вычислительной математики. Добавим еще несколько слов о вычислении интеграла от / по слож-
§4]

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

SI

ной области Q. Пусть область Q есть часть единичного куба, выделенная неравенствами gj(x) <0, j = I, 2, ..., J. Техника вычисления интеграла по Q выглядит примерно так. Генерируется та же последовательность псевдослучайных чисел, равномерно распределенных в единичном кубе. Для каждой точки хт проверяются неравенства gj(xm) <0, ;'= 1, 2, ..., /. Если все они выполнены,

т.е. хт Є Q, вычисляется f(xm), которая прибавляется к накапливающейся сумме.

Кроме того, ведется подсчет числа попавших в Q точек. Пусть вычислено M случайных точек, К из которых попало в ?2, и накоплена соответствующая сумма ^ /(х"1*)- Среднее значение / в области Q можно определить величиной

( Щах.

J mes Ci а

Вместе с тем это среднее вычисляется методом Монте-Карло: A"_i^ /(xm*)- Что касается меры mes Q, то она приближенно равна К/М.

Итак, имеем формулу

к

J Дх) dx = J1 2 Я*”1*) + Ч-

Q Jt = I

О погрешности ek известно, что это случайная величина, математическое ожидание ее модуля имеет оценку С/уГК; константа С зависит от гладкости /.

Квадратуры высокой точности. В качестве / можно взять интерполяционный полином LN(t), построенный на сетке {^„}„=0. За счет того или иного выбора узлов сетки можно получить соответствующие преимущества. Широко используются чебышевские сетки, обеспечивающие устойчивость чебышевских квадратур при больших N. Отметим еще гауссовы квадратуры. Они основаны на следующей идее. При любой сетке квадратура, в которой используется интерполяционный полином Ln, точна в классе полиномов степени не выше N. Можно так подобрать узлы сетки, что квадратура станет точной в классе полиномов степени не выше 2//+1. Узлы сеток и коэффициенты квадратурных формул вычислены для разных N на стандартном интервале [—1, 1]. Их можно найти в справочниках по методам приближенных вычислений (гауссовы узлы и коэффициенты, чебышевские и некоторые другие).
58

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

[Ч.І

§ 5. Численное интегрирование задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений. Требуется найти функцию x(t), 0 ^ («Т, удовлетворяющую уравнению

Здесь х — р-мерный вектор, f(x, t) — заданная вектор-функция той же размерности, х0 — заданная точка (данные Коши).

Как известно, при весьма простых и общих предположениях о гладкости / решение задачи (!) существует и единственно. Хорошо также известно, что найти явное аналитическое выражение для х(t) удается в крайне редких случаях, и только для очень частных классов задач (например, линейных уравнений) имеются способы явного решения задачи Коши. Сама же задача (1) — одна из наиболее часто встречающихся в различных приложениях (в физике, механике, астрономии, биологии, экономике и т.д.). К таким задачам приходят, изучая движения планет и ракет, эволюцию биологических и экономических систем.

Рассмотрим методы приближенного интегрирования задачи Коши, начиная с самых простых и старых. Используем метод сеток, или, иначе, метод конечных разностей, являющийся одним из наиболее универсальных и общих (хотя и достаточно трудоемких) методов приближенного решения дифференциальных уравнений.

Начнем с основных объектов метода сеток. На интервале [О, Г], на котором ищется решение, введем покрывающую его дискретную сетку точек

Ради простоты в дальнейшем будем в основном использовать равномерную сетку с шагом т = T/N: tn = пх.
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed