Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
C0T
78
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч. I
Пусть теперь используется метод к-го порядка аппроксимации, т.е. є = O(Xk) (к ^ 2). Тогда, как нетрудно понять, можно положить п ^ 1/х2 (что соответствует времени In — пх « С/х); при этом (I + C1X1Y < ессг. Таким образом, для п s? CiIx2, C3 = 0(1), имеем
Hxn - Уп11 ^ еСгСъ IIxO ~ Уо)11 + 0(хк~1) еСгСъ.
Итак, при интегрировании «не неустойчивой» системы методом к-го (к ^ 2) порядка аппроксимации с шагом х на интервале времени О ^ / ^ С3/х численное решение имеет точность 0(xk~l). Разумеется, на конечном интервале времени О < t < T точность метода есть 0(хк). В дальнейшем она понижается на один порядок. С такими задачами вычислители встречаются при расчете процессов, носящих характер «вращений», колебаний и т.п. Их приходится рассчитывать на длительных интервалах времени, так как физическое время, интересное для приложений, обычно бывает очень большим для системы в том смысле, что оно содержит большое число колебаний или оборотов. Поэтому приведенная выше оценка точности численного интегрирования очень важна.
Мы рассмотрели простые варианты теорем, дающих оценки погрешности численного интегрирования существенно более точные, чем стандартные (опирающиеся только на условие Липшица для правой части). Они доказаны при достаточно сильных предположениях о свойствах матрицы f Х(х). Более тонкие теоремы должны основываться на более слабых предположениях. Ho в любом случае такие оценки будут существенно опираться на свойства решений так называемого уравнения в вариациях:
^JT = /X[x(t)J ^x+ r(t).
Это линейное уравнение с переменными коэффициентами. Оно определено на исследуемой траектории x(t) и описывает (в первом порядке) эволюцию возмущения траектории x(t), вызванного малым возмущением правой части.
Возмущенная траектория удовлетворяет уравнению
= f(x) + r(t), r(t) — малое возмущение.
Полагая x(t) = x(t) + 6х(ґ) (здесь (x(t) — решение уравнения х = = /(*))> разлагая }(х + дх) в ряд Тейлора и пренебрегая членами 0( И 6Ц2), получаем уравнение в вариациях, играющее огромную роль в теории устойчивости и в близких к ней вопросах о точности численного интегрирования.
§8]
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМ ОДУ
79
§ 8. Приближенное решение краевых задач
для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Следующий по сложности (после задачи Коши) класс задач — это краевые задачи, в которых часть конечных условий задана на левом конце интервала времени, а часть — на правом. Краевые условия могут быть сформулированы вообще в терминах левых и правых концов траектории одновременно. Начнем с линейных краевых задач.
Итак, требуется найти решение линейной неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
% = A(t)x + a(t), 0*t*T, (і)
Здесь х и а — р-мерные векторы, A(t) — р-* р-матрица. Как известно, для выделения однозначной траектории требуется еще задать р конечных соотношений. Запишем их в общем виде:
С х(0) + D х(Т) = / (2)
(С, D — р-* ^матрицы, / — ^вектор).
Стандартный метод решения такой краевой задачи связан с основным результатом теории линейных систем: общее решение системы (1) задается явной конструкцией
x(t) = x°(t) + Oj xl(t), (3)
<=і
где x°(t) — произвольное решение неоднородной системы, Т.е. X0 должно удовлетворять уравнению X0 = A(t)x° + a(t) (краевые условия для X0 какие угодно, вернее, те, которые нам по каким-то причинам удобны). В соотношении (3) x‘(t) — это р линейно-независимых решений однородной системы, т.е. X1 удовлетворяет уравнению Xі = A(t)xl, а краевые условия для х‘ тоже произвольные, лишь бы они обеспечивали линейную независимость совокупности векторов x‘(t), і = I, 2,..., р, при всех г.
Как известно, достаточно проверить линейную независимость при каком-то одном значении г. Что касается (скалярных) коэффициентов а,, то они произвольны, и этот произвол «тратится» на выполнение р заданных краевых условий (2). То, что конструкция (3) при любых а; удовлетворяет уравнению (1), очевидно. Подставим ее в краевые условия:
P P
с Jx0(O) + 2 Oi Xi(O)] + D [х°(Г) +Xа, Xi(T)] = /,
/=і ;=1
80
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч. I
или
P
2 Oi [С .Vi(O) + D Xi(T)J = / - С X0(O) - D х°(Т). (4)
i = i
Получена система р линейных алгебраических уравнений с матрицей, г'-й столбец которой есть Cxi(O) + Dx1(T). Если система (4) имеет единственное решение (det^O), краевая задача имеет единственное решение. Ho это не есть обязательный факт, хотя его можно считать типичным. Отсутствие решения (или неединственность при подходящей правой части) следует считать вырождением задачи.
Все, что было сказано выше, полностью взято из курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Специалист по вычислительной математике должен добавить только четкое указание, откуда взять функции X1 (t), і = 0, 1, ..., р. Ответ почти очевиден: раз мы научились численно интегрировать задачу Коши, то просто нужно сконструировать такие задачи Коши, которые дадут то, что нужно.
