Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Переход от (tn, хп) к (<п+1, хп+1) начинается с вычисления вспомогательных величин:
*i = /(*„. О
&2 = /(хи + OJkl, tn + 0.5x) х, k3 = /(*„ + 0.5*2, tn + 0.5x) x,
*4 = /(*„ + *3. tH + T) T-
Затем делается собственно шаг интегрирования
Хп+1 = xH + (1/6)(*! + 2кг + 2кг + *4>-
§7]
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ
75
Таким образом, один шаг требует четырехкратного вычисления правой части.
Мы не станем точно вычислять погрешность аппроксимации, это требует громоздких выкладок. Поясним, однако, основную идею. Если провести разложения kv кг, к3, к4 по малым параметрам с достаточным числом членов и вычислить после этого выражение
*„ +(1/6)(*,+ 2*2+ 2*3+ A4),
то оно совпадет с отрезком ряда Тейлора (4) вплоть до членов порядка т4. Расхождение начнется только в членах 0(т5).
Метод Рунге—Кутты можно записать в стандартной форме:
где F(x, t, х) — суперпозиция («многоэтажная») функций f(x, t). Легко проверить, что константы Липшица для / и F почти (с точностью до 0( х)) совпадают.
Что касается порядка аппроксимации, то, как уже было объяснено, он в данном случае четвертый. Существуют схемы Рунге— Кутты разных порядков, причем порядок аппроксимации равен числу вычислений правой части на один шаг процесса. Сказанного выше достаточно, чтобы сформулировать следующее утверждение.
Утверждение 1. Если функция f(x,t) имеет ограниченные производные *-го порядка (следовательно, решение 2"(і) — производные (* + 1 )-го порядка), то метод Рунге—Кутты *-го порядка имеет *-й порядок аппроксимации и *-й порядок сходимости.
Однако стоит еще раз напомнить, что, кроме погрешности аппроксимации, есть еще погрешность машинного представления чисел, т.е. фактически после подстановки в разностные уравнения машинных чисел 3?" получим
7 (*ї+1 - К) - П^мп, tn, х) = O(Xt) +\ |<Г|е,
и при т< (\3?\г)11(*к+1'> результаты численного интегрирования с уменьшением шага начнут ухудшаться, а не улучшаться.
Обратим внимание на то, что в теореме об устойчивости в оценке фигурирует крайне неприятный множитель ест. Конечно, оценки очень грубы, но простые примеры показывают, что в общем случае, если, кроме условия Липшица для /, других предположений не делать, эта оценка не улучшаема. Ho в важных частных случаях она может быть намного улучшена, и это существенно, так как часто приходится проводить численное интегрирование в ситуации,
76
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[4-І
когда хкест (к — порядок аппроксимации метода) есть величина много б<5лыпая требуемой точности, а попытки достичь этой точности за счет уменьшения т приводят к непосильному для ЭВМ объему вычислений.
Простые примеры более точных оценок мы сейчас получим. Рассмотрим два случая.
1. Пусть определяемая численным интегрированием система такова, что матрица А(х) {Fx(x) + ^*(*)) в нужном нам диапазоне изменения х строго отрицательна, т.е.
Траекторию, в окрестности которой выполняется это условие, будем называть «устойчивой».
Утверждение 2. При интегрировании устойчивой траектории методом Рунге—Кутты А-го порядка аппроксимации погрешность приближённого решения есть O(Tfc) при всех t > 0.
Утверждение будет доказано, если мы получим оценку устойчивости разностной схемы, не содержащую экспоненциального множителя типа ест.
Доказательство. Оценим сначала норму
При достаточно малых х можно пренебречь величиной 0( т2) и пользоваться оценкой
Теперь обратимся к оценке устойчивости. Как и раньше, из уравнений (2) имеем
(А(х)\, D«-a(!,S), Vi;,* (а >0).
ЦЕ+xFx II2 = SUp
((E + xFx)t, (E + TFJV
(I. I)
= sup
(і=, |)+2т(Л|,У+т2(^|, FX%)
(15)
« I — 2ха + 0(x2).
||E+X^t(X)II «1-С,х, C1 >0.
F(x) - F(y) = F(y + s(x - y)) IIZ10 =
= \ Is F(y + s(x ~ УЇЇ ds = \ Fx(y + s(x - >0)0 - y) ds-
0
0
§ 7] ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ 77
1
Так как х — у = ^ (дс — у) ds, то
о
= 11 {Е + *Рх(у+ s(x - у))}(х-у) afs|| ^
О
1
«5 IIE+T^cII ds \\х-у\\ G(I-ClT)Wx-VW.
о
В итоге мы имеем оценку
IK+1 - Уя+іІІ * 0 “ C1X)IlX11 - JnII + 2хе.
Отсюда, как и раньше,
11*« - З'Л < (I - C1T)" Ilx0 - у0|| + 2те \ ¦ -^2?.-.
Таким образом,
И*» “ Я.ІІ * 1!*о “ Уо11 + 2e^cI-
и эта оценка не ухудшается при всех п > 0. Имея такую оценку устойчивости, получаем утверждение о порядке сходимости, совпадающем с порядком аппроксимации при интегрировании на сколь угодно большом интервале времени (конечно, только при интегрировании устойчивой задачи).
2. Более интересный и тонкий результат можно получить для «не неустойчивых» систем, т.е. для систем, у которых матрица А(х) (симметричная часть Fx) только неположительна, т.е. (ylj;, ?) $ 0, V I-, х. В этом случае оценка \\Е + xFx(x)\\ находится так же, как это делалось выше:
P?+ TjPx(X)IH I +C2Ti.
Повторяя далее оценки для решений двух разностных уравнений, имеем
Н*„ + 1 ~ >П + 1ІІ ** (1 + C2t2)ll*» - УпІІ + 2*Є, откуда уже известным способом получаем
II*» - У»Il < (I + С2тг)п ||х0 - у0|| + 2тє °+^2t2)—-.
