Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Замечание 2. При изложении абстрактной теории мы не обсуждали вопросов выбора норм, хотя все это становится содержательной теорией только при том или ином конкретном их выборе. В каком-то смысле была изложена «инвариантная» относительно выбора норм схема теории. В нее входят разные варианты обоснования численного метода, отличающиеся выбором норм. Содержательно такие теории не все равноценны, и доказательства свойств аппроксимации и устойчивости могут в одной и той же схеме приближенного решения задачи сильно отличаться.
Разумеется, мы заинтересованы в том, чтобы из относительно слабых предположений получить возможно более сильные оценки отклонения приближенного решения от точного. Поэтому хотелось бы иметь в основном ключевом свойстве схемы — устойчивости возможно более слабую норму для погрешностей аппроксимации и возможно более сильную норму в оценке Ilxs — ys||, например чтобы норма невязки ||rs|| была аналогом какой-то интегральной нормы, а ||xs — ys|| — нормой типа С. Поэтому не стоит удивляться, встречая разные обоснования одного и того же метода приближенного решения какого-то класса задач.
Замечание 3. Использованная нами форма записи уравнения L(8?) = OF и приближенного метода Ls(xs) = не является универсальной. Можно записывать задачу в форме L(3f, &~) = 0 и т.д. Предоставим читателю, если ему это покажется интересным, соответствующим образом скорректировать абстрактную форму записи приближенного метода, определения аппроксимации, устойчивости и т.п. Нам будет достаточно и такого уровня абстракции.
Замечание 4. Доказанная выше теорема «аппроксимация + устойчивость =>' сходимость» применительно к методу конечных разностей установлена В. С. Рябеньким и А. Ф. Филипповым и носит их имя. В западной литературе аналогичная теорема называется теоремой Лакса. Впервые, видимо, теоремы такого типа в различных методах приближенного решения задач в функциональных пространствах доказывал Л. В. Канторович.
70
основы вычислительной математики
[Ч. I
§ 7. Исследование сходимости методов Рунге-Кутты
Применим описанную выше абстрактную схему исследования к конкретному вопросу — к обоснованию сходимости метода конечных разностей для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5.1). Мы должны доказать аппроксимацию и устойчивость, а не принимать их как предположения. Начнем с аппроксимации для простейшей схемы — явного метода Эйлера (5,2). Прежде всего, нужно четко оформить разностные уравнения в абстрактной форме Lx(Xx) = 0. Под Xх мы будем понимать совокупность {*„}, п = 0, 1, ..., N = Т/х. Оператор Lx отображает сеточную функцию Xх в такую же сеточную функцию, и надо определить все ее компоненты.
Положим
п = 0
[Lx(xx)\n
v0’
1, tIt
.j), n=l,2,...,N.
Очевидно, теперь запись Lx(хх) = 0 эквивалентна разностной задаче. Вычисление погрешности аппроксимации состоит в том, что в уравнения L1(Xx) = 0 подставляется ограничение на сетку точного решения {3fn}, 3f п = 3f(tn). Получим невязку
JT(O) - х*0 = 0,
ар
Л-1
/(JSVi1^1) = O(X),
п — О,
и= 1, 2, ..., N.
Таким образом, можно сформулировать следующее утверждение.
Утверждение, Пусть решение дифференциального уравнения Sf(t) имеет две ограниченные производные (для этого достаточно, чтобы /(х, t) имела ограниченные первые производные). Тогда явная схема Эйлера аппроксимирует дифференциальную задачу и имеет первый порядок аппроксимации.
Для неявной схемы (5.3) имеем, очевидно, тот же самый результат. Несколько сложнее вопрос с третьей из простейшей схем (5.4). Она может быть оформлена в абстрактной форме:
xO ¦*<)’ Xi - X*,
хп-хп-г
п = О, п = 1,
« = 2,3,
.., N.
Ho величина х\ не входит в постановку задачи, ее нужно как-то определить. В зависимости от того, как это будет сделано, порядок аппроксимации будет разный.
§7]
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ
71
Почти очевидны следующие факты для погрешности аппроксимации:
го = 0. гп = 0(х2) при п = 2, 3, N.
Оценим rv для нескольких способов определения х\:
а) если х\ — какая угодно величина, то rl = Sf(x) — x\ = 0( 1), схема имеет нулевой порядок аппроксимации и для расчетов непригодна;
б) если х\ = х*0, то T1 = Sf (х) -Sf(O) = 0(т) и схема имеет первый порядок аппроксимации.
в) если х\ = Xt0 + Xf(Xt0, t0), TO T1 = ^(X) - х‘-х/(х*, г0) =
= 0(х2) и схема имеет второй порядок аппроксимации.
Разумеется, все это верно лишь в предположении, что решение дифференциальной задачи Sf(t) имеет три ограниченных производных (для чего достаточно, чтобы /(х, t) имела две ограниченных производных в интересующем нас диапазоне изменения х и t).
Подчеркнем, что обеспечение второго порядка аппроксимации третьей схемы потребовало достаточно аккуратного (хотя и не очень сложного в данном случае) определения дополнительных начальных данных**). Это типичное обстоятельство для схем, формальный порядок которых превышает формальный порядок дифференциального уравнения. Такие схемы используются именно с целью получить более высокий порядок аппроксимации, и недостаточно внимательное решение вопроса о дополнительных начальных данных может лишить схему желаемого порядка аппроксимации.
