Небесная механика. Основные задачи и методы - Дубошин Г.Н.
Скачать (прямая ссылка):
П
т - у mi (t? + 'й? -Ь ^)-
(7.50)
§ 5] ДРУГИЕ ВИДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 375
Полагая теперь
1 J?-. и}. -I- 1?. 4- w?
Н=Т -и = ±^ и (7'5(),)
1-0
мы можем написать систему (7.49) в следующем виде: dlt _ дН dr\t дН
rfg, _ дЯ
Л ' dt dvt ' dt dwi '
dui дН dvi дН dwi __ dH
~dt~ ' ЧГ- 5л7 * "ST-_ ^7
(7.49r)
Те же уравнения (7.49') можно написать гораздо короче, вводя подходящие
обозначения для обобщенных координат.
Действительно, будем обозначать все координаты одной буквой qj (/=1, 2, .
. ., Зя + З), так что
== Уз1+1* Л/ = ^з/+2' = (i = 0, li 2....га),
и введем для симметрии новые обозначения, для масс точек, полагая
ni[ = Цз|+[ = Из/+2 - М-3/+з (i - 0, 1, 2, .... п).
Тогда живая сила системы определится формулой
Зл + З
т = \ (7-50")
1
откуда получим выражения для обобщенных импульсов
дТ
p^wr*141'
вследствие чего уравнения (7.49') примут следующий вид*):
(7.49") где
dq j дН dpj дН
dt др. ' dt dq j
3rt + 3 2
н=т-u = i У - -и.
2 ? ">
Классические интегралы системы (7.49") получатся из интегралов (7.8'),
(7.10) и (7.11) простым переходом к новым
*) Эти уравнения часто пишут еще проще, вводя в рассмотрение вектор q с
компонентами qi и соответствующий ему вектор р с компонентами Pj. Тогда
уравнения (7.49") можно написать в виде
q=H", p=-Hq.
376 УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VII
переменным и новым обозначениям и напишутся следующим образом:
интегралы движения центра масс:
П П
2 Р31+1= (r)i> 2 ((% 11^з/+1 tPu+i) - bр
/-0 1 = 0
n n
2 Pai + 2 = #2> 2 (М'3/+2^3/ + 2 tPzi + ii - ^2>
/=0 /-0
n n
2 Рз1+а - a3' 2 0%+з7зг+з ^Ры+з) ~ by
i-о i-o
интегралы площадей:
П
2 (Яз1иРз1 + Л Чз1 + зРз1 + 2) = С1'
1-0
п
2 (Яз1 + зРз1 + 1 Q3I + 1P3I+3) = С2>
1-0
п
^ЛЧз1+\Рз1+2 Яз1+2Рз1+\) ~ С3
и, наконец, интеграл живой силы
H=h.
Совершенно аналогично можно привести к канонической форме и уравнения
(7.35), т. е. уравнения относительного движения в координатах Якоби.
Полагая
ц'=/"'*', ч)'1 = т'1у'1, w't = т!1г'1
п ,1,1,1
н , у _ и_
l?\ "I
мы напишем уравнения (7.35) в форме
dx\ дН' dy\ дН' dz\ дН'
dt dut ' dt dv\ ' dt dw\ '
du\ dH' dv\ dH' dw\ дн'
dt dx\ ' dt dy\ ' dt dz\
(t = 1, 2, .. ti).
(7.51)
§ 5] ДРУГИЕ ВИДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 377
Уравнения (7.51) также можно записать более кратко, вводя новые
обозначения для координат Якоби и приведенных масс. Действительно,
положим
х\ = Яы-2> У\ = Яы-1- z\ = 4 3i
и
/П/==Н'3/г_2=:Н'3(_1 =^зг
Тогда
Зл
rT'/ 1 f " /2
Tt = -2 j •
1-1
и уравнениям (7.50) можно придать вид dq, дН' dp, дН'
-%- = -Гг. -JT = -rr (7 = 1- 2, .... Зя). (7.51 )
df ору rff
Интегралы системы (7.5Г) выведем из интегралов (7.37) и (7.37') переходом
к новым обозначениям переменных, что дает
П
^1^{Чи-\Ры Я31Р31-1) ~ сг
Л
2 (ЧиРц-2 ЯЫ-2Р31) = С2>
Л
i?i (Я31-2Р31-1 Ч31-1Р31-2) - су
. Зл ,2
2 й ^
Уравнения движения в цилиндрических или сферических координатах также
легко привести к каноническому виду. Действительно, рассмотрим уравнения
движения (7.38') в абсолютных цилиндрических координатах. В этих
координатах живая сила нашей материальной системы имеет следующее
выражение:
i-0
Принимая величины р,-, Я,-, за лагранжевы координаты, мы определим
соответствующие им импульсы формулами
Р/- mjPi> Л, = т(р^, Zt =
378 УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VII
откуда следует, что уравнения (7.38') можно переписать в виде
dpi dH dPt dH
dt ' dt dpi
dli dH d\i dH
dt д\[ * dt dXt
dti dH dZi dH
dt - дЪ i ' dt
где
Н--
.1 V_L '2 h т'
(7.52)
PI + 4- + Z) Р/
и
есть соответствующая характеристическая функция.
Приведем еще к гамильтоновой форме относительные уравнения движения в
координатах Якоби, преобразованные предварительно к сферическим
координатам с помощью формул
х\ - r\ cos ф(' cos у[ - r'l cos ф) sin Х'г г^ - г^ъ'тц)^ Тогда живая
сила системы Т' определится формулой
т'=-j 2 m' [г;2+гГфГ+г? cos2 ф; • я;2].
г* 1
Примем величины г'г ф^, Я' за обобщенные лагранжевы координаты и введем
соответствующие им обобщенные импульсы формулами *)
Ф' = т'г'*у', L't = r? cos^-A,'.
Тогда относительное движение системы определится следующими каноническими
уравнениями:
dr'i dH' dR[ dH'
dt dR' ' dt dr'
dtf'i dH' dfb't dH'
dt дф'с ' dt db
dl\ dH' dL\ dH'
dt di'i ' dt dl'
(i = U 2 n),
(7.53)
где
И'
-Я-Ь
к
ф
и.
*) Здесь R, Ф, L, так же как и Р, Л, Z, обозначают импульсы, а не
составляющие сил, как выше.
ДРУГИЕ ВИДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
379
Полезно напомнить, что x'v y'r z'. суть декартовы координаты точки Mi
(t=l, 2.......п) в системе координат с
началом в центре инерции системы точек М0, Mt, . . ., Mt и с неизменными
направлениями осей.
Уравнения движения системы в координатах xit yit Zi, определяющих
положения точек Mi (г = 1, 2.........п) относительно
точки М0, можно также привести к канонической форме следующим образом.
Рассмотрим живую силу Т в относительных координатах, которая определяется
формулой
п
Т = i S (i)+ у] + г2) -
V1 'Vj-fv1 'V-ufv ¦ ^ 2j mixi + 2j т'у' J + 2j m'Zi
