Небесная механика. Основные задачи и методы - Дубошин Г.Н.
Скачать (прямая ссылка):
основываясь на свойствах силовой функции, зависящей только от взаимных
расстояний между точками и остающейся поэтому инвариантной при
преобразовании координат.
Заметим еще, что интеграл живых сил следует также из уравнений (7.28) в
силу свойств уравнений Лагранжа.
§ 5. Другие виды дифференциальных уравнений движения задачи многих тел
1. Прямоугольные декартовские координаты (абсолютные или
относительные) в ряде случаев оказываются по тем или иным причинам
неудобными для применения в некоторых конкретных задачах небесной
механики и тогда их заменяют какими-либо другими, более подходящими
переменными.
Рассмотрим сначала простейшую, не прямолинейную систему, а именно,
систему цилиндрических координат.
Если желательно преобразовать к этой системе координат абсолютные
уравнения движения (7.1), или (7.1'), то нужно положить:
\l = pf COS Х[, Т1г =рг sink,-, ?; = ?;, (7.38)
где р,- есть проекция радиуса-вектора точки М* на плоскость 0?ti, a Xi -
угол, образуемый этой проекцией с положительным направлением оси абсцисс
(долгота) *).
Тогда (см. § 3 гл. VI) уравнения движения напишутся следующим образом:
1 dU Рг Pi i т{ '
d , 2 { \ 1 dU
dt\P'K')~ mi дК[ в _ 1 дЦ
^ ~ mi дЬ
(7.38х)
*) В системе координат (7.38) за основную плоскость взята плоскость Ogr|
и за основное направление - ось абсцисс. Ясно, что такой выбор не
является обязательным и за основную плоскость можно взять любую
координатную плоскость.
364
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
Силовая функция U, входящая в эти уравнения, определяется той же формулой
(7.4'), но взаимные расстояния Д,j должны быть выражены через новые
переменные (7.38). Таким образом,
а правые части уравнений (7.38'), т. е. выражения для частных производных
от силовой функции по цилиндрическим координатам, найдутся по формулам,
приведенным в § 4 гл. I.
Уравнения (7.38') имеют, разумеется, те же классические интегралы, как и
уравнения (7.1), но эти интегралы нужно пре^ образовать к новым
переменным при помощи формул (7.38).
Например, интеграл живой силы напишется следующим образом:
Выражения для других интегралов не представляют большого интереса и мы их
выписывать не будем. Можно преобразовать к цилиидрическим координатам и
уравнения в барицентрических координатах (7.22).
Полагая
мы будем иметь вместо уравнений (7.22) следующие:
АЬ = Pi+ Pj - 2Р/Рj cos (Xi -1 j) +¦ в -
П
где, как легко проверить,
П
("o+"/)Pi'+ 2,'"//C0S(Xi-Xy)
П
(т0 + m,)^+ 2У m^i _____________
5 Б] ДРУГИЕ ВИДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
причем взаимные расстояния определяются формулами
+
+
(l + ^fp 'jsinkj
j-1
+
+
365
(ч-^)ч+Г-л
i-1
ДЬ = Pi + Pj - Wj cos (K - l'j) + ft - ?')2
(t, j = 1, 2, ..., л; j + i).
Четыре первых интеграла этих уравнений получатся из интегралов уравнений
(7.22) простым преобразованием к новым переменным. Эти довольно
громоздкие выражения мы приводить здесь не будем.
Рассмотрим теперь преобразование уравнений относительного движения (7.24)
или (7.24 ) к цилиндрическим кооординатам. Положим предварительно
п<== + (/=], 2, .... л).
Тогда уравнения (7.24') напишутся в виде
- __do j
d?li
^1 dyi ' Zl дг1
(7.39)
Переходя теперь к цилиндрическим координатам по формулам *) xt = р, cos
Xt, yi = Pi sin Я,!, Zi-Zi, (7.39')
мы получим следующие уравнения:
" ___n i 2__dQj d ,2i n_________ dQ; - ___ dQ[
P( PlKl - dpt ' dt (Pri) - dX, ' Z' ~ дг,
(7.39")
где функции определяются формулами
l(m0 + mt) t rxV__ Г 1 P/PyCQS (Xt - Xj) + z^j '
Q( = -y===r- -f /
(р2у + -2у)
2\sh
*) Здесь pj обозначает проекцию радиуса-вектора ri=MaMi точки Ма на
плоскость ху, a Xt - угол, образуемый этой проекцией с положительным
направлением оси Ма х,
366
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VII
причем
Аи = р1+ р) - 2Р/Р jcos Оч ~xj) + (zi- г if. Составляя частные
производные от Ц, мы найдем
да.
др1
+/Г
j-i
PjCOs(l[ - Ij)- рг p;cos(^, - lj)
,2 V/,
(pH 4)'
dQi V'
Ж7=-fP'L
J-i
Sin(^ - kj),
dQi
j (m0 + mt) zt
дг,
2\ (2
II
j-i
m.
Zj-Zt
(p?+*?n
Первые интегралы уравнений (7.39"), получаемые преобразованием интегралов
(7.27) и (7.27') при помощи формул (7.39'), мы также приводить здесь не
будем.
Дифференциальные уравнения в координатах Якоби, конечно, тоже можно
преобразовать к цилиндрическим координатам, вводя для каждой из точек М*
свою систему цилиндрических координат, связанную с собственной
прямоугольной системой
@1-1х1У?г
Так как уравнения (7.35) имеют совершенно такой же вид, как и уравнения
(7.Г), то и преобразованные к цилиндрическим координатам уравнения будут
иметь такой же вид, как и уравнения (7.38'), только их правые части,
написанные в раскрытом виде (т. е. после выполнения частных
дифференцирований силовой функции U), будут значительно сложнее, чем
правые части уравнений (7.38'), и мы их приводить не будем.
2. Рассмотрим теперь уравнения движения системы взаимно
притягивающихся материальных точек в сферических координатах.
Преобразуем абсолютные коордииаты точек М{ при помощи формул
