Небесная механика. Основные задачи и методы - Дубошин Г.Н.
Скачать (прямая ссылка):
1 т л
=zi 2 rrijZj
У-1
(* =0, 1, 2, , я).
(7.26)
Заменяя теперь в равенствах (7.22') и (7.22"), которые являются
интегралами уравнений (7.22), барицентрические координаты их выражениями
(7.26), мы получим соответствующие интегралы уравнений относительного
движения (7.24) (или (7.24')). Произведем эту замену только в первом из
уравнений (7.22'), ибо два других получаются из первого циклической
перестановкой букв. Отметим прежде всего, что из формул (7.26) мы имеем
я п п п п
т}\) - trijXj ~ 2 т]Х1 ~~ 2 ffljXj,
у-1 у-1 у-i у-i у-i
а следовательно, также
У-1 У-1
и аналогичные формулы для двух других координат.
С помощью этих формул и соотношений (7.26) мы перепишем первый из
интегралов (7.22') следующим образом:
т0
т2
2 т]У) X 2 mjZj - V rrijZj X У тууу
у-i y=i у-i у-i
/-1
У г
п
1 VI
Ът)У)
У-1
+ п
1 v
т2лт>г>
У-1
п
____________________ - У-1 J У-1
*) Эти формулы пригодны также н для точки М0, так как дс0=у0=г0*"0,
23 Г, Н. Дубошин
= С ,
354
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
откуда после упрощений получаем первый из интегралов системы уравнений
относительного движения (7.24), а затем и два остальных циклической
перестановкой букв, в следующем виде:
_1_
т
j-1
i-1
¦Ь
-г<у/)=с'ь
г-i
/и
+
(7.27)
_1_
/и
L./-1
2 nijZj х 5] mj*j - S X 2 mjZj L/-i /-i y-i у-i
л
+ 2"|(г,х,-х,г,) = са.
1-1
Л л л
2 mixj X 2 mjyj - S mjyj X
;-i ;=i у-i
Л
+ 2 (Х1У1 - УМ) = с*
г-1
Преобразуя таким же образом равенство (7.22"), мы получим четвертый
интеграл системы уравнений относительного движения, аналогичный интегралу
живых сил в абсолютном движении.
Этот последний интеграл напишется в виде
V A'Jy ' (v -V'
i
2m
W"1
w-1
4-1
+
+ ±%т{(х* + у1 + г*) = и + /1'. (7.27') i-i
Хотя равенства (7.27) и (7.27') не имеют уже столь же яс* ного
механического или геометрического значения, как в абсолютном движении, но
и для них сохраняется та же терминология. Поэтому равенства (7.27)
называются тоже интегра-лами площадей, а равенство (7.27') - интегралом
живых сил относительного движения.
Произвольные постоянные с[, c'v с'ъ и h' могут быть определены через
начальные значения
•*?. У°п г°<> •*?> & (* = Ь 2, п)
УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
355
относительных координат и их первых производных (составляющих
относительных скоростей). Для солнечной системы, например, эти начальные
значения могут быть выведены из результатов наблюдений планет, а значит,
могут быть фактически определены.
Полученные интегралы позволяют понизить порядок системы уравнений (7.24)
на четыре единицы, но это понижение фактически не производится, так как
требует длинных и громоздких выкладок, в результате которых получаются
слишком сложные и громоздкие уравнения, с которыми неудобно иметь дело на
практике (т. е. для фактического вычисления эфемерид планет).
Поэтому интегралы (7.27) и (7.27') не играют большой роли при решении
задачи и могут быть использованы только для некоторых теоретических
выводов или как контрольные формулы для некоторой (далеко не полной!)
проверки правильности произведенных вычислений (например, на
быстродействующих вычислительных машинах).
3. Уравнения (7.24) могут быть получены, конечно, также
преобразованием уравнений абсолютного движения (7.1), так как из формул
(7.20) и (7.23) следует также, что
xt = h - l0, 01 = Til - "По, Zi = tl -
Поэтому и интегралы (7.27) и (7.27х) можно вывести также и
преобразованием интегралов абсолютного движения.
Уравнения (7.24) можно вывести также и непосредственно. Действительно,
рассмотрим систему материальных точек М0, Mi, ..., Мп, взаимно
притягивающихся по закону Ньютона, и условимся рассматривать движения
точек Mit Mt, ..Мп относительно точки М0.
Возьмем декартову систему прямоугольных координат Мохуг с началом в точке
М0 и с неизменными направлениями осей.
Координаты точки Mj (t=l, 2, ..., п) опять обозначим через Хи у и г,-.
Тогда проекции относительной скорости и относительного ускорения в
движении точки будут соответственно Хи и и Xi, Ни Z,-.
Чтобы получить дифференциальные уравнения движения системы материальных
точек, нужно выразить составляющие ускорения через координаты движущихся
точек, применяя второй закон динамики Ньютона, согласно которому
составляющая ускорения точки по любой координатной оси равна сумме
составляющих по той же оси всех сил, действующих на эту точку, поделенной
на ее массу. Но это правило справедливо только для неподвижной системы
координат и поэтому в нашем случае, где система координат движется вместе
с точкой Мо, непосредственно неприменимо.
23*
356
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
Чтобы иметь возможность применить второй закон Ньютона в этом случае,
нужно предварительно "остановить" точку М0, для чего необходимо сообщить
этой точке ускорения, равные по величине и противоположные по
направлениям тем ускорениям, которые ей сообщают притяжения точек Мь М2,
Мп.
Но тогда мы должны и каждой из точек М\, М2, Мп сообщить такие же
