Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дубошин Г.Н. -> "Небесная механика. Основные задачи и методы" -> 115

Небесная механика. Основные задачи и методы - Дубошин Г.Н.

Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы — М.: Наука, 1968. — 800 c.
Скачать (прямая ссылка): nebesnayamehanika1968.pdf
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116

Тогда старая и новая независимые переменные будут связаны следующим
соотношением:
Производная по времени от какой-либо функции Ф выразится через
производную той же функции по к следующим образом:
(7.42')
р^ = Г, (/ = 1, 2, ..., п).
(7-43)
(7.43')
(7.44)
24 Г. Н. Дубошин
370
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
Отсюда, в частности, имеем
p, = "ir.4r' г, = "!г.4г'
Далее, из формулы (7.44) выводим
"л1 * Г* * dk )'
Ф =
d2 Ф d/2
(7.44')
(7.44")
откуда получаем
Р=Ц2Г _?/В2Г ^М__"2Г М
р' **лГ**лУ" в? dk)'
г. = -
' к к dk
\ к к dX ) к к dX . и) \ 1 dX dX )\
Теперь уравнения (7.42) примут следующий вид:
d
Их
d
Их
"*Г*
а
. "? \
dX
ftrft / dXt \2 ____________
ui \ dX ) u\Г;
dX )\ u\Yk
dTt
*ft' ft Ai
dA,
И1Г
ft* ft
причем в выражениях для Р,, Z/(. А, величины pi( z{, к{, pit zt, kt
должны быть заменены их выражениями в функции новых переменных по
формулам (7.43) и (7.44').
Чтобы привести написанные уравнения к окончательному виду, исключим из
них производную от Г* по к при помощи формулы
- (7-45)
dX
"*Г*
затем из второго уравнения исключим при помощи первого вторую производную
от щ по к и, наконец, заметим, что в силу (7.43) и (7.43') имеем для
i=j=k
ДРУГИЕ ВИДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В результате указанных преобразований и соответствующих упрощений
уравнения движения системы п материальных точек приведутся к следующему
виду:
Входящая в уравнения (7.46) вспомогательная переменная Г* определяется
уравнением (7.45), которое может быть присоединено к системе (7.46).
Проинтегрировав уравнения (7.46) и (7.45), мы получим величины "i, Si,
Я,- и 1\ в функции независимой переменной Я и 6м- 1 произвольных
постоянных. После этого из уравнения (7.43') простой квадратурой
определим и время t, как функцию переменной Я, по формуле:
где Яо можно рассматривать как последнюю произвольную постоянную.
Разрешая уравнение (7.47) относительно Я, мы определим эту величину как
функцию времени, а затем без труда получим и все остальные переменные в
зависимости от времени и 6п произвольных постоянных.
Заметим еще, что из уравнения (7.45) интегрированием мы найдем
где
(7.47)
где у2 есть произвольная постоянная. 24*
372 УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VII
Подставляя это выражение в уравнения (7.46), мы исключим эту
вспомогательную переменную, но превратим уравнения движения из
дифференциальных в интегро-дифференциальные, что, впрочем, не очень
усложнит процесс приближенного интегрирования этих уравнений*).
В заключение этого раздела рассмотрим случай, когда
р __ dflf
Л -
Л< - д\ '
7 __ <Х2,
где функции ?2,- зависят только от координат р,-, г,-, к, точек Mt. Тогда
величины Р, и Zj легко выразить через производные от Q,-по переменным ut
и Sj. Действительно, мы имеем
" dQi dui . dQ: dsi " dQi dQi
р'= = -gif*
7 _____ dQi ______ dsi ____________ dQi
1 dzt dsi dzi dsi
где
Q
f (mo + mi) ui , ( v' t==~lrTT3 M m>
Vi + si j-1
.дij M<(1+4)/i
(7.48)
а взаимные расстояния определятся формулой
А/> = Vй*+и) - 2aiUJ C0s (к1 ~ kjH (S*ttJ - W¦
*) Полезно отметить, что уравнения движения, соответствующие i=ft, имеют
гораздо более простой вид, чем все остальные уравнения. Действительно,
ха"=1, и мы можем иаписать
d2uk^uk = Uk, ^+Sk = Sk,
dX2 ' я *' dX2 где, как легко видеть,
Л**\
и*°----272-(р* + л*Г
Sk =*=-3^2 (- + И*Л*^) ¦
4lA dX)
ДРУГИЕ ВИДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
373
С помощью этих формул выражения для величин Ut, St, Lt приведутся к
следующему виду:
Чтобы получить развернутые выражения для величин Р,-, Zj, Л,-, входящих в
правые части уравнений (7.46), нужно вычислить частные производные от
функций определяемых формулой (7.48), и произвести затем надлежащие
подстановки.
Можно также воспользоваться выражениями для частных производных от
функций Qi, приведенных в конце раздела первого.
*) Полагая i=k, мы получим, в частности, выражения для функций ?/* и S*,
подставляя которые в уравнения, определяющие движение точки Мк" найдем
где *)
d2Uk
dXl
______* I I ''"Я
Tuk r2 , i ,
rft L диЬ u* ds*
1 dQ.k du/f u\ dX dX
u\ dX dX
1 dQk dsk
dX dX
причем
dt
374
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
Заменяя в этих производных величины р, и г* их выражения ми через новые
переменные, мы будем иметь
Полагая в последней из этих формул i - k и заменяя Хъ. на X,
мы найдем также выражение для производной < после чего
4. Дифференциальные уравнения движения системы взаимно притягивающихся
материальных точек можно также записать и в гамильтоновой (канонической)
форме.
Рассмотрим сначала уравнения движения (7.Г) в абсолютных прямоугольных
координатах
где U есть силовая функция, и обозначим, как обычно, через Т полную живую
силу системы, т. е. положим
Чтобы написать уравнения (7.49) в канонической форме, достаточно принять
li, rji, ?; за лагранжевы координаты и ввести импульсы формулами
u2j cos (Я; - Х;)
д?1к
получим Г| по формуле
:¦ ои ¦¦ аи в {i = 0, 1, 2, .... п).
ди
<*i
(7.49)
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed