Небесная механика. Основные задачи и методы - Дубошин Г.Н.
Скачать (прямая ссылка):
ускорения, вследствие чего относительные движения точек Mi могут
рассматриваться как абсолютные.
Подсчитаем теперь все ускорения, приложенные к точке Mi
(i = l, 2, ..., п) в проекции на ось М^х.
Прежде всего, точка М, находится под действием притяжения точки М0, что
дает следующую составляющую полного ускорения ii этой точки:
г i
Далее, как сказано выше, мы должны приложить к точке Mi составляющие
ускорений
-Кт' -/"*24..............-1тпЧ>
Г1 2 гп
представляющие собой величины, обратные по знаку составляющим ускорений,
сообщаемых действиями притяжений точек М\, М2, ..., Мп движению точки Ма.
Наконец, точка Mi находится под действием притяжений всех остальных точек
Mj (/ = 1, 2, ..., п, /?=(')> которые дают следующие составляющие полного
ускорения точки А!,-:
XI -х 1 Xi - X J , Xi-Xn
з , з , ..з
ЛЛ /2 л(я
Складывая все выписанные составляющие, мы получим проекцию на ось абсцисс
полного ускорения в дзижении точки М что дает следующее равенство:
xt = - fm0- ... -Kj +
r i r\ rn
X\-Xi , - Xt - Xi j , - xn- Xi
.3 ' 2 .3 T ••• -I /"-Я 3
Л|1 /2 л1п
которое можно, очевидно, переписать в виде
' Xi - X.
т,
__ Л л3 -3
у = 1 V Д/У Г)
а это и есть первое из уравнений (7.24); остальные два уравнения
получаются таким же образом.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В КООРДИНАТАХ ЯКОБИ
357
Но, получив уравнения (7.24) непосредственно, не опираясь на уравнения
абсолютного движения, мы не можем уже получить интегралы этих уравнений
преобразованием известных интегралов уравнений абсолютного движения, а
должны вывести эти интегралы из самих уравнений (7.24).
Это нетрудно сделать, но потребует выполнения довольно громоздких
выкладок, которые для сокращения мы производить не будем, предоставляя
читателю проделать эти выкладки в качестве полезного упражнения.
§ 4. Уравнения движения в координатах Якоби
1. Уравнения относительного движения системы взаимно притягивающихся
материальных точек в виде (7.24) обладают тем существенным недостатком
(уже отмеченным выше), что их правые части являются частными производными
от щ, %
различных функций, ^ так как каждая из точек Mi (i= 1,2,..., п) имеет
свою собственную возмущающую функцию Ri.
Этот недостаток, весьма существенный с теоретической точки зрения, можно
устранить, выбирая относительные координаты каким-либо другим способом.
Рассмотрим преобразование переменных, называемое преобразованием Якоби.
Обозначим через Gi центр масс подсистемы материальных точек М0, Мi,
G0 совпадает с М0, a Gn есть центр масс всей системы, обозначенный ранее
через G.
Введем в рассмотрение п систем прямоугольных координат, начало каждой из
которых помещается в одной из точек Gj (j = 0, 1, ..., п - 1), а
одноименные оси которых все параллельны друг другу и параллельны
соответствующим осям барицентрической системы Gi'ri'C', а также, конечно,
осям абсолютной системы Olr\t, (см. рис. 42 для случая п = 3).
Пусть x'v у'{, г\ суть координаты точки (/=1, 2, ..., п)
в системе координат О ^х^у'^ с началом в точке
-7
Рис. 42.
Mi (i=0, 1, 2, .... п), так что
358
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
Покажем, что относительные координаты x't, y'it z't, называемые также
координатами Якоби, определяются уравнениями, имеющими симметричный вид и
содержащими частные производные от одной и той же функции, а именно, от
силовой функции U материальной системы.
Для вывода дифференциальных уравнений в координатах Якоби воспользуемся
уравнениями Лагранжа (см. § 1 гл. VI), принимая за обобщенные координаты
qj координаты Якоби хг [/', z\. Тогда искомые дифференциальные уравнения
можно записать в виде
и нам остается только выразить живую силу системы Т и силовую функцию U
через новые координаты.
Так как выражения для Т и для II в функции барицентрических или
абсолютных координат нам известны, то наша задача приводится теперь к
нахождению формул, связывающих координаты Якоби с барицентрическими или с
абсолютными координатами.
Более удобно найти соотношения между координатами Якоби и
барицентрическими координатами, а поэтому выведем формулы преобразования,
связывающие величины х\, у'., г\ с величинами l't, Л', Ur
Обозначим барицентрические координаты точки Gj через t\j> ?'. Тогда
формулы параллельного преобразования координат дают соотношения
Обозначим далее через at массу подсистемы материальных точек М0, Ми Mt,
т. е. положим
(7.28)
и
причем очевидно, что а0 = т0 и а" = т.
* 4] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В КООРДИНАТАХ ЯКОБИ 359
Тогда по свойствам центра масс системы материальных точек имеем *)
_ i
(i = 0, 1, 2.....п). (7.30)
j-o 1 1
Теперь формулы (7.29') дают
_ i-i i-i
2\nmj-2 ]-0 J=0
откуда находим
i-1
^=-stt S " <7'31)
j-0
Таким образом, формулы (7.31) выражают новые координаты точек (координаты
Якоби) через старые (барицентрические) **).
Выразим теперь, наоборот, барицентрические координаты через координаты
Якоби.
Для этого заметим прежде всего, что из формул (7.30) вытекает следующее
соотношение ***):
тЛь== °t&k (7.32)
