Небесная механика. Основные задачи и методы - Дубошин Г.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Заменяя в (7.32) на сг/, - o/,_i, а координаты точек Gh и Gk-i их
выражениями из (7.29), мы получим
(°ft °ft-l) = °ft(?ft+l *ft + l) Xk)' откуда найдем
(7-32'>
Придавая здесь индексу k значения 0, 1, 2, ..., i-1 и складывая
получающиеся равенства, будем иметь****)
(7-32")
а-1
Умножая равенства (7.32") соответственно на т; и суммируя по i от 1 до п,
мы получим (используя также формулы (7.21"))
<7-32'")
А-1
*) Очевидно, достаточно писать все формулы и производить все выкладки
только для одной координаты, например, для абсциссы.
**) В частности, формулы (7.31) дают *1=?1-?о, что очевидно.
***) Здесь просто сумма разбита на две части и индекс i заменен на ft.
***¦) Так как ё; - ?о = х1,то формулы (7.32") связывают также координаты,
отнесенные к системе Мо хуг с координатами Якоби.
360 УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VII
что дает после чего формулы (7.32") дадут и все остальные
барицентрические координаты
р-33"
k-i
Эти формулы показывают, что якобиевские координаты точек Mi (i=l, 2, ..п)
полностью определяют положение всей системы п +1 точек в
барицентрической, а значит, и в абсолютной системе координат.
Теперь из формул (7.32") выводим также, считая />",
к-i
что позволяет выразить через новые координаты все взаимные расстояния
между точками, а значит, также и силовую функцию U.
2. Найдем теперь выражение для живой силы Т. Заменим для этого в
формуле (7.32), написанной для k = i, величину ее выражением (7.29), что
дает
^-аД;-оД;_г
Дифференцируя это соотношение и то, из которого оно получено, мы имеем
два следующих равенства:
Возводя каждое из этих равенств в квадрат и исключая из полученных
равенств произведение найдем следующее со-
отношение:
_ */* И/0/-1 ;./* _ fr* _
m&i------1 (tm)
из которого, суммируя ПО I от 1 до п, получим
i-l l-l Но io = lo и так чт0 имеем окончательно
1-0 1-1
§ 4]
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В КООРДИНАТАХ ЯКОБИ
361
Написав подобные же равенства для двух других координат, мы выведем, что
?¦'=i S га< +<+^0=т 2 ^зг1- (•?+#+*;¦)•
(-0 (-1
Величина Т отличается от живой силы Т только на постоянную.
Действительно, мы можем написать
П
г$+*?+?!)=
/-О
п
=т S", [(&;+if+ft ¦+•+в+щ=
i-0
п п п
= г +12 "Д;+л 2 "Л+? 2 +f - (t2+п2+Ь),
/-0 /-0 /-0
откуда, используя свойства центра масс, найдем
П
7 = -J 2 m'i (*f + У? + г0 + 2^ К + а2 + аз)- (7-34)
i-i
где положено m
mpl-i
mi(m0 Н-/Я,+ ... +/п/_!)
(7.34')
W0 "Ь Я* 1 Ч- ...
(/= 1, 2, ..л).
Постоянные m'i, зависящие только от масс материальных точек, называются
иногда "приведенными массами". Легко видеть, что если масса т0
значительно превосходит все остальные массы (как это имеет место в
солнечной системе, если точка Мо обозначает Солнце), то истинные массы mj
и приведенные массы mi суть величины одного и того же порядка.
Теперь по формулам (7.28) получим окончательно уравнения движения нашей
материальной системы в координатах Якоби в следующей симметричной форме:
т\х\ =
ди
дх,
Г, dU
т1У1=-ГГ
ду(
г, dU
(/ = 1, 2, п).
(7.35)
362
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
где силовая функция определяется обычной формулой
П П
1-0 0
(7.36)
но взаимные расстояния Ац выражаются через координаты Якоби более сложно,
чем через абсолютные координаты. Действительно, мы имеем
Уравнения (7.35) образуют систему 3п дифференциальных уравнений второго
порядка, так что общий порядок системы есть 6л, т. е. на шесть единиц
ниже порядка системы уравнений абсолютного движения.
Уравнения (7.35) можно, конечно, вывести также прямым преобразованием при
помощи формул (7.32") и (7.33) из уравнений (7.18"). Поэтому и интегралы
системы (7.35) можно получить из интегралов системы (7.18") при помощи
такого же преобразования.
При этом легко проверить, что соотношения (7.21) и (7.2Г) удовлетворяются
тождественно, а интегралы площадей и живой силы напишутся совершенно в
такой же форме, как и соответствующие интегралы системы (7.18"), или как
интегралы уравнений абсолютного движения *).
Таким образом, система (7.35) имеет следующие четыре интеграла: "
*) Соотношения (7.21) и (7.2Г) нельзя называть, как это иногда делают,
интегралами уравнений движения. Действительно, эти равенства не содержат
никаких произвольных постоянных, а поэтому их можно назвать только разве
инвариантными соотношениями, позволяющими исключить из уравнений движения
какие-либо три координаты какой-либо из точек системы.
2
п
п
(7.37)
П
п
(7.37')
§ 5] ДРУГИЕ ВИДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
363
произвольные постоянные которых могут быть определены через начальные
значения
/О /0 /0 * /0 * /0 * /О
х\ , у\ , z\ , х\ , у\, z\
координат Якоби и их первых производных.
Уравнения (7.35) можно также рассматривать как дифференциальные уравнения
абсолютного движения системы п "фиктивных" материальных точек Mi,
обладающих массами в поле сил, определяемом силовой функцией U, зависящей
только от координат х\, y'r z\ этих точек.
Тогда интегралы площадей и интеграл живых сил можно написать сразу,
