Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
4. Выпуклый мост. Автомобиль массы т движется с постоянной скоростью v по выпуклому мосту, представляющему собой дугу окружности радиуса R (рис. 70). С какой силой автомобиль давит на мост в его верхней точке?
Решение. В верхней точке моста действующие на автомобиль сила тяжести mg и сила реакции моста N направлены в противоположные стороны. Так как автомобиль равномерно движется по дуге окружности, то его ускорение а направлено к центру О и равно по модулю v2IR. В результате уравнение второго закона Ньютона
та = mg + N
в верхней точке моста в проекции на направленную вниз ось принимает вид
V2 А/
m~=mg — N.
Отсюда находим силу реакции моста
104
II. ДИНАМИКА
которая вследствие третьего закона Ньютона равна по модулю силе давления автомобиля на мост. Видно, что эта сила меньше нормального веса mg неподвижного или движущегося по горизонтальной дороге автомобиля.
о О
При достаточно большой скорости, когда v2 = gR, сила давления на мост обращается в нуль: автомобиль, как и находящиеся в нем пассажиры, оказывается в состоянии невесомости. При v2 > gR автомобиль отрывается от поверхности горбатого моста и некоторое время находится в свободном полете. Аналогичную картину можно часто наблюдать в соревнованиях по мотокроссу.
5. Машина Атвуда. Через неподвижный блок перекинута нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами и т2 (рис. 71а).
Такое устройство используют для изучения законов динамики на опыте. Найдите силу натяжения нити и ускорения грузов.
Решение. Рассмотрим силы, действующие на каждый из грузов. Очевидно, что кроме сил тяжести тig и m2g, направленных вертикально вниз, на грузы со стороны нити действуют силы натяжения Ti и Тг, направленные вертикально вверх. В инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, уравнения второго закона Ньютона для каждого из грузов записываются в виде
= mig + Ть т2а2 = т2g + Т2. (7)
Эти уравнения справедливы без каких-либо упрощающих предположений о соотношениях между массами грузов, нити, блока, о наличии трения в блоке и т. д. Однако из них невозможно определить все неизвестные величины, так как число неизвестных больше числа уравнений.
Обычные идеализации, используемые при решении подобных задач, заключаются в пренебрежении массами нити и блока, трением в оси блока и
АТ'
й
Й
Д т
т2
i"i2g
¦Am g
нТ"
а б
Рис. 71. К задаче 5
§ 19. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ ДИНАМИКИ
105
растяжимостью нити. На этих идеализациях основана простейшая физическая модель рассматриваемой системы.
К чему приводят эти идеализации? Из нерастяжимости нити, т. е. неизменности ее длины, следует очевидное соотношение между проекциями ускорений грузов на вертикальную ось:
Одинаковый модуль этих ускорений обозначим через а.
Действующая на каждый из грузов со стороны нити сила натяжения вследствие третьего закона Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой груз натягивает нить. Из предположения о нулевой массе нити следует, что натяжение ее левого и правого участков одинаковы во всех точках, хотя могут и различаться между собой. В этом можно убедиться, если мысленно выделить малый участок нити массы Ат (рис. 716) и применить к нему второй закон Ньютона:
Если Ат = 0, то из (8) следует Т" = —Т". Это означает, что модуль силы натяжения одинаков во всех точках нити слева и справа от блока.
Если теперь считать, что масса блока равна нулю и трение в его оси отсутствует, то силы натяжения нити будут одинаковы по обе стороны от блока. Предположение об отсутствии трения не требует особых комментариев. Если допустить, что при этом силы натяжения и Т2, действующие на блок слева и справа, не равны друг другу, то при нулевой массе блок должен был бы раскручиваться с бесконечно большим угловым ускорением. Обозначим равные друг другу модули сил Tj и Т2 одной буквой Т.
Таким образом, в рамках рассмотренной простейшей модели система уравнений (7) становится замкнутой и позволяет найти неизвестные величины а и Т. Полагая для определенности т, > т2, перепишем уравнения (7) в проекциях на направленную вниз ось:
Для предельного случая тх = т = 2т формула (11) дает а = 0, т. е. грузы либо покоятся, либо движутся равномерно. При этом, как видно из
(10), сила натяжения нити равна силе тяжести, действующей на каждый из грузов: Т = mg.
Если тх < т2, то (11) дает формально а < 0, что означает, что ускорение левого груза (массы т{) в действительности направлено вверх.
Полученные результаты позволяют судить о направлениях только ускорений грузов, но не их скоростей.
