Сборник задач по физике полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
N — 2п{ J ЁЬ[е(ф5 — S‘x)/kT]dx, о
Обозначив е(ф, — Bx)/kT — у, получим о
N = — (2nKkT!eS) [ sh у dy = — (2nikTjeS)c\i г/|еФа/Аг =
eifgJkT
= (п^Т/еВ) [exp (eyslkT) — 2 + exp (— eyJkT)].
Принимая условие еф JkT > 1, будем иметь ехр (eq>JkT) ~ 4лег1^г/гкТпи
откуда
еф, = kT In (4легЛт2/ekTrii) = 0,32 эВ.
108. Аналогично задаче 105 запишем уравнение
Пуассона:
Граничные условия имеют вид
с? = AnQJe, Q, = eN при z = 0; (2')
ф 0, dq>/dx 0 при х (2")
Запишем решение уравнения (1) в виде (см. решение
108
задачи 105)’
cp(x) = cps ехр(—x/Ld),
где
L0 = (ekT/Ane2p)1/2.
Величину фа можно выразить из граничного условия (2'): . ср, с?ф Ф3 4neN 4neNLD
® |х=0 Тх “ ID" ~ Т-’ *Р* — 8 *
Отсюда изменение работы выхода равно
Д Ф = еф, >0, ф, = 1,4 • 10~3 В,
т. е. работа выхода увеличилась на величину АФ—еср,= = 1,4 ¦ 10-3 эВ. Подставляя ф. в условие eqJkT < 1, находим, что это условие выполняется при
N < e&7V4jxe2LD, т. е. в нашем случае при
JV<1,5-1010cm-V
109. В рассматриваемом случае изменение работы выхода определяется скачком потенциала ф в двойном слое (см. рис. И):
Д Ф = —еф.
Здесь ф = 4пт, т — мощность двойного слоя, m = Nd, d = el, I — плечо диполя-молекулы. Таким образом,
ДФ — —4леЛ]d = —3,4 ¦ 10~3 эВ.
В задаче 107 мы получили, что &Ф = — еф0 = — 0,32 эВ. В рассматриваемом случае, как видно из полученного результата, изменение работы выхода в 94 раза меньше. Это связано с тем, что ширина области, в которой на электроп действует электрическое поле,, гораздо больше для случая адсорбции ионов, чем при адсорбции диполь-ных молекул. Действительно, плечо дипольной молекулы равно l = d/e~ 2 • 10_э см, в то время как ширина области пространственного заряда, индуцированного положительными ионами, равна
х0 = ФJ<S = ф8е/4леДг = 2,8 • 10~в см.
Во втором случае электрическое поле совершает при движении электрона гораздо большую работу, чем в
109
первом, даже несмотря на то, что во втором случае электрическое поле примерно в е раз меньше.
110. Аналогично задаче 107 запишем
ОО
= 4лeNje, N = f \п (х) — л] dx,
о
где п (х) = п ехр (еср/kT). Вводя обозначенпе у = = е (ср3 — Sx)!kT, получаем о
N = — (nkT{e<o ) | (ехр у — 1) dy =
eii'lkT
= — (nkT/eg) [1 — cxp(ecps/kT) + ecps'kT].
Прн еср JkT » 1 находим
N * (nkT/её) ехр (еср JkT),
откуда
ecps = kTln(AnezN2/ekTn) = 0,2 эВ.
Видно, что в рассматриваемых условиях неравенство еср JkT > 1 действительно справедливо.
111. В рассматриваемом случае (см. решение задачи 110) имеем
00
N = ^[р(х)~ p]dx, р (х) = р ехр (j|r), о
откуда
N = (pkT/eW) ехр (еср JkT) =
= (pkTe/4ле2)1/2 ехр (еср JkT) — 6,2 ¦ 1011 см-2. 112*. Имеем уравнение Пуассона
ТТ = ~ ~е~; р = е [iVd — Ага + р (ж) — /г (^)]. ах ь
Граничные условия таковы:
ф = Ф. > 0 при х = О,
Ф —0, dcp/dx 0 при х -*¦ оо.
В объеме полупроводника
Nd — Na = п — р,
где пир — концентрации электронов и дырок в объеме, а
п(х) = nexp(ecp/kT), р(х) = р ехр(—ecp/kT).
110
Отсюда
р = еп [1 — ехр(еф/kT)] + ер [ехр(—e<f/kT) — 1], а так как пр = п\, т. е. п/щ — njp — 4, то
р = епАч [1 — ехр(еф/kT) \ + f-1 [ехр( — eq/kT— 1]}.
Введем обозначение \^ — eq>/kT, тогда уравнение Пуассона приобретет вид 72\Ь 4ле2я .
екТ
Проинтегрируем обе части уравнения по \|г.
{d^ldxf = — — Т ехр г|> — у-1ехр (— i[-) — ] + С,
^ГТ =* - ~7РГ lv (1 ~ ехР Ф) + V 1 [ехР (~ Ф) ~ Ill-
где L52 = 8ne2nifzkT, Ld — длина Дебая. Константу С определим из граничного условия \[з 0 и d^/dx -*¦ 0 при
х -*¦ оо. Для константы получаем значение
С = — (у + y_1).
Итак,
(З)2 = Lо2 h (evP t -1) + Y-1 (oxp (— — i) +
+ ^ (y_1 — v)]>
откуда
g- = ± (kT,eLv) X .
x[v(exP® - 0 + v_1(exP (- g-)-1)+^(v_1 - y)]1/2.
Знак плюс следует отбросить, поскольку dq/dx<0, т. е. с ростом х потенциал убывает.
При х = 0 граничное условие имеет вид
е<У[х=0 = 4л Q,,
где = — dcp/dz\x=0, Qs — плотность заряда на по-
