Сборник задач по физике полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
"П tg rj = sa/Dp. (8)
Трансцендентное уравнение (8) имеет бесконечное число корней Г] (а следовательно, и т„): r]i, г)2, ..причем г) 1 < r|2 < г|з • • • • Решение уравнения (3) теперь может быть записано в виде
оо
Ьр = 2 AJ cos [x/(xs DJj112] exp (— tlXj), (9)
3=1
Из (9) следует, что -слагаемые, соответствующие корням высших порядков, затухают со временем быстрее, чем решение, отвечающее первому корню. Поэтому для не очень малых t (т. е. после начального переходного процесса) всеми слагаемыми, кроме соответствующего первому корню уравнения (8), можно пренебречь. Тогда
1 / Г| = l/тр + 1/т,!,
где 1/тл = ill Dp/а2. В случае малых s таких, что sa/Dp< 1, в уравнении (8) для наименьшего корня можно взять tg г| « г). Тогда
а2/т3lDp ¦= sa/DP и s = а/тл = а (т^1 — т^1) = 100 см-с-1.
122
130*. Вычислим изменение со временем концентрации неравновесных носителей после выключения однородной по объему генерации:
д Ap/dt = — Ap/хр — div jp, (1)
где jP = — Dp grad Др. Граничные условия таковы (ось х перпендикулярна поверхности пластины): п 5Др Л
ир-^- = —$хДр при х — а,
~ д Ар .
p~dx~~S2 Р ПРИ Х= —а'
Уравнение (1) решаем методом разделения переменных (ср. задачу 129):
Ар = (A cos ах + В sin оса:) ехр (—?/т), (2)
где а = (тSDP) 1/2, т 1=хр1+т51. Подставим (2) в граничные условия:
— A sin а а + В cos аа = —(A cos аа + В sin aa)t
A sin сса + В cos аа = ~JJ ^ cos аа — ^ s*n aa)i
или
А (-1] tg г] + ki) + B(kt tg г] + г]) = 0,
(3)
А (г] tg ri - к2) + В (к2 tg ri + г]) = О,
где г| — аа = a/(x,Dp)l/2, k^asJDp, k2 = asJDp. Система однородных уравнений (3) имеет нетривиальные решения, если
— ri tg г) + к1 tg 1] + г! _
П tg Ц — к2 tg 1] + г] — 1
откуда
tgsTl + 2lJ^=^-tgl1-l = 0. (4)
Трансцендентное уравнение (4) имеет бесконечное число корней rji, T]2, ... Решение (2) теперь можно записать в виде
ОО
л/> = 2 :=i
123
A, cos----------- ,
1 (х D в3 Р)
% + В j si п
ехр,--
Так же, как и в задаче 129, оставляем в решении лишь наиболее медленно затухающее слагаемое, отвечающее первому корню уравнения (4). Тогда
тГ1 = Ту1 + тГЛ т«1 = azm\Dp. (5)
Рассмотрим случай г|1<л/2. При этом tgr]i»rii, и урав-
нение (4) принимает вид
th'Ai + — 2 кгк2 — кг — к2 = О,
откуда
T)i = (к1 + 2/с1Аг + к^Цк-х + к2 + 2). (6)
Из выражения (6) следует, что г), < 1, когда выполня-
ются условия < 1 и й2< 1, или
asJDf < 1, asJDr < 1. (7)
Из формул (6) и (5) находим
_1_ = J_ , *1 + S2+2S!S2alDp
Х1 Л a2 +"я+2Dpla *
или, учитывая неравенства (7), ,
1/Ti « 1/тр + (Sj + s2)/2a.
Если > s2, то 1/= 1/т„ + Si/2a, откуда = 2a (тГ1 —
— Тр1) = 800 см-с-1.
131*. Темп захвата электронов поверхностными центрами рекомбинации равен
Вп = сп[ (1 - ft) п. - nslf,],
где ft — доля ловушек, заполненных электронами, п, — концентрация электронов на поверхности полупроводника, n,i — концентрация электронов на поверхности полупроводника в равновесии, когда уровень Ферми совпадает с уровнем ловушки, с„ — вероятность захвата одного электрона, когда все ловушки пусты.
Запишем аналогичное выражение для абсолютного темпа захвата дырок:
Rp = Cj,[fip.-p,i(l-ft)].
В стационарном состоянии Rn — Rp = R. Находя из этого условия /, и подставляя найдепное выражение в формулу для абсолютного темпа захвата электронов,
124
получаем
где
Д= Cncp(Psns Pelnal)
Cn('1« + '1,l) + Cp(^ + ?«l)’
р, = p,t> + Др. = p.t> ехр (—eFp/kT), п, * п,о + Дп-. = п,о exp(eFJkT).
Здесь Fp, Fn — квазпуровпи Ферми для дырок и электронов, индексом «О» отмечаются равновесные величины
р.о — ехр(—etyJkT), ns0 = и, ехр (etyJkT).
Далее,
р41 = га* ехр [(?,-?,)/?Г], nti = га,ехр[(?, — E,)/kT],
где Е{ = (Еа + Ev)/2 + 3/4 kT 1п(тр/тп) (сравните с задачей 1), га(— концентрация в собственном полупроводнике. Очевидно, psn, — рп и Psi^i ¦=» щ, поэтому
