Кристаллы квантовой и нелинейной оптики - Блистанов А.А.
ISBN 5-87623-065--0
Скачать (прямая ссылка):
1 = ™?=?1ее\ (8.15)
8я 2я
Следовательно,
crtч 82я4 2
73 = ч 2,2Х 2я п-^Хз
.5
сщ '){СП2 ') М2
128я
2 К \ I . . у CW1W2W3/-3 Ак
2/,/2 —Ц-[»iML - -i|
(8.16)
Вычислим отдельно произведение выражений, стоящих в скобках
1 Г U*L _ _ ,] 1 2(, _ cos ML) =
М *\( ,\ (8Л7) = -L-4sin2(ML/2) = L2Si” (MZ; 2)-М2 (ML/2)2
Подстановкой (8.17) в (8.16) получаем
/з= 1287[5 2 Х2/./2^2 si»2(ML/2). (8.18)
сп^п^Х-} (ML/2)
В том случае, если Ш| = Ш2 = ш и со3 = 2ш, т.е. для генерации второй гармоники начального излучения (излучения накачки) из (8.18),
получаем
128я .2 г2 .2 s‘n (ML/2) fRlQ^
2® 2,7 Х / . . о ' I0,17/
СП 2а><Цш (ML/2)
Коэффициент х связывает комплексные амплитуды нелинейной поляризации и электрического поля. Часто используется другой коэффициент d, связывающий действительные амплитуды электрического поля % и нелинейной поляризации Р. Рассмотрим соотношение X и d, используя выражения, описывающие удвоение частоты. Действительная амплитуда поляризации Pim удвоенной частоты, определяемая действительной амплитудой поля ?, записывается как
155
Здесь Ргш и Р2а - комплексно сопряженные амплитуды поляризации удвоенной частоты, равные
P2w = J<%,2 е*р[а{ш ~ kz)l (8.21)
В то же время, определяя Ргш с помощью комплексных амплитуд поля, получаем
Ргш = %E(z,(A)E’(z,a)exp(-i2(At). (8.22)
Используя для определения поля действительную амплитуду, запишем
E{z,t) = $(z)cos(<ot -ф) = ^(z){exp[г(ft)/ - ф)] + ехр[-/(юг -ф)]} = ^ ^
= ?(г,ю)ехр(/а>г) + ?*(г,а>)ехр(-/а>г).
Отсюда следует, что комплексная и действительная амплитуды поля связаны как
?(г,ш) = ^(z)exp(-/Acz). (8-24)
Подставляя (8.24) в (8.22), получим
р2т = ехр[/2(®г - kz)\ (8.25)
4
Сравнивая (8.21) и (8.25), видим, что X = 2d. (8.26)
Используя (8.26) и обозначив д = sin (^V2); запишем (8.18) и
(AkL/2)
(8.19) как
/3= 5П*5 d2IxI2&; (8.27)
h<»=~ "d2l}j2S. (8.28)
Cwcow2o)^2o)
8.2. УСЛОВИЯ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ФОТОНОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
Записав условия сохранения энергии и импульса при взаимодействии фотонов, можно получить существенную информацию о результатах такого взаимодействия. Взаимодействие трех фотонов Ф можно представить как реакцию
Ф(ач, ki) + Ф(ю2, кг) = Ф(юз, кг), (8.29)
где со 1 и со2 - частоты начального излучения (излучения накачки); юз - частота результирующего излучения;
к\ и кг - волновые векторы начального излучения (излучения накачки);
къ - волновой вектор результирующего излучения.
Для такого взаимодействия законы сохранения имеют следующий вид. Закон сохранения энергии:
ЙЮ1 + йю2 = йсоз, (8.30)
откуда следует соотношение частот взаимодействующих волн
СО 1 + ?02 = соз. (8.31)
В том случае, если начальное излучение имеет один источник и, следовательно, одну частоту со = coi = юг, результатом выполнения закона сохранения энергии является генерация второй гармоники начального излучения (накачки)
2со = юз. (8.32)
Закон сохранения импульса имеет вид Нк\ + Пкг = Нкз (8-33)
или
к\+кг = кг, (8.34)
т.е. закон сохранения импульса выполняется, если волновой вектор результирующего излучения есть векторная сумма волновых векторов волн накачки.
Подставив в (8.34) выражения для волновых векторов к,= = т^т/с (здесь со,- ил, - частота и показатель преломления соответствующей волны, т - волновая нормаль), получим
со^ш, +а2п2т2 = со3пътг. (8.35)
157
E(la)
Рис. 8.1. Схема синхронизации фаз поля излучения накачки Е(ю), нелинейной поляризации Р(2а>) и поля результирующего излучения Е(2со) при оптическом нелинейном взаим о действии
В частном случае для генерации второй гармоники при со = coi = = С02, Щ = т2 = т3 = т и выполнении равенства (8.32) получим
Выражения (8.34) и (8.36) определяют условия синхронизации волн при их взаимодействии в нелинейной среде. Рассмотрим условия синхронизации волн более детально на примере генерации второй гармоники. На рис. 8.1 показано распространение волн электрического поля начального излучения Е(со), входящего в нелинейную среду на границе среды, обозначенной цифрой I.
Это поле, распространяясь со скоростью v(co), порождает нелинейную поляризацию Р(2со), распространяющуюся с той же скоростью. Нелинейная поляризация (колебание электрических диполей с частотой 2со) порождает электромагнитное излучение Е(2со), скорость распространения которого в общем случае отличается от скорости распространения начальной волны, т.е. v(2co) * v(co), из-за зависимости показателя преломления от частоты. Интенсивность излучения гармоники на некотором расстоянии от поверхности нелинейной среды (позиция II) определяется интерференцией волн гармоники, рожденных ранее [в позиции I - ?’;(2со)] и возникающих в данной точке [позиция II - ?,/(2со)]. Если в позиции II сдвиг по фазе ?;(2ю) и Е,j(2co) находится в пределах [0 - л/2], поле ?,(2со) будет усиливать поле Е„(2со). С ростом сдвига по фазе в интервале от п/2 до п поле
(8.36)
158
„ ,, sLni(6HL/Z) 1, 0 ~ (йк L/2)1
Еп(2а>) ослабляется полем Е/(2со) и при сдвиге фаз равном я поле 2со) гасит поле Еи{1(л) (рис. 8.1). При дальнейшем распространении волн сдвиг фаз продолжает возрастать и при сдвиге фаз, равном 2п (позиция III на рис. 8.1), результирующее поле гармоники вновь усиливается в результате интерференции волн, возникающих в позиции III и пришедших из позиции I. Таким образом, по пути распространения волн накачки в нелинейной среде будет меняться сдвиг фаз волн гармоники, возникающих в данной точке и возникших ранее. Различие скоростей распространения волн v(2co) и v(co) определит разность фаз между ними Дф и, следовательно, интенсивности результирующего излучения от координаты.
