Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Qi “ j т0 (Р) viP rfP- Qt = J т0 (Р) V2P dP>
1 1 Mi =» ~ | а0 (р) (pKj)' dp; М2 = | а0 (р) (р^)’ Ф(
здесь
1 1 Ln = | (К)2 р d& Lu = j* (Kf p dP’
^ = J[(pK)T^; l22 = j [(p1^)’]2
50 Деформация цилиндров при переменной по длине нагрузке
Таким образом, с помощью решений (41) однородных уравнений южно сравнительно легко приближенно выполнить силовые граничные словия на торцах.
Значительно сложнее выполнить геометрические граничные условия. ! связи с приближенностью решения последние можно выполнить олько интегрально. Так, на заделанном торце условия и (р) = 0 w (р) = 0 должны быть заменены интегральными
При этом величину и определяют по формуле (30). Осевое перемеще-ие w не может быть найдено непосредственно, так как уравнение сов-[естности (8) не выполняется, однако интегралы, входящие в выраже-ия (43), определяются из естественных граничных условий, возника-)щих при рассмотрении минимума энергии деформации. В наиболее ростом случае, когда давления рх и р2 около торца не изменяются
Примеры расчета и некоторые числовые результаты Эпюры напряжений и радиальных перемещений для длинного по-
!ым внешним давлением в правой части (? > 0) и свободного от нагрузки I левой части (? < 0), показаны на рис. 24.
Функции Zx (?) и Z2 (?) рассчитаны по формулам табл. 4 (схема 2), напряжения и перемещения — по формулам (36) и (37). Как видно
з эпюр, влияние скачка давления распространяется в обе стороны димерно на 1,2/?; вне этой зоны напряжения и деформации определяют ю формулам Ляме.
Следует обратить внимание на то, что в точке разрыва внешней на-рузки (? = 0, р = 1) напряжения также разрывны. Разрыв напряже-ия ог равен р, а напряжения о* — 2vp. Так как решение приближенное, но дает непрерывное распределение о2. Вероятная форма точной за-исимости показана пунктиром.
Аналогичные эпюры для цилиндра с соотношением радиусов k = 0,7 [оказаны иа рис. 25.
Значение эпюр, приведенных на рис. 24 и 25, состоит в том, что их южно использовать как линии влияния для расчета цилиндра при нор-1альной нагрузке, распределенной по произвольному закону на наруж-юй поверхности. Для этого эпюру давления надо аппроксимировать
1
1
J ы(р) V[ pdp = 0; J и (Р) v'2 pdp = 0;
(42)
k
l
l
(43)
k
k
*¦*“77“ = — 0 I , а касательные нагрузки отсутствуют (т, =
, di dt, /х,-О
= т2 = 0)g=0, условия (43) эквивалентны условиям
[ого цилиндра с отношением k — — 0,5, нагруженного равномер-
-1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -СЛ -0,2
Вариационный метод расчета полых цилиндров
451
Рис. 24 РИС. 25
452 Деформация цилиндров при переменной по длине нагрузке
ступенчатым графиком и суммировать напряжения и перемещения, вызываемые каждой из элементарных нагрузок, на которые подразделяется заданная нагрузка.
Бесконечный цилиндр, загруженный постоянным давлением на участке боковой поверхности (рис. 26). В связи с симметрией задачи достаточно рассмотреть только правую часть цилиндра (?>0). Функции Zx и Z2
определяют по формулам:
при ? < у
I ** / I м . I < Pi ш ftf ш 1
0
**уЯ* -/Я- 7~
Z, =
~nlPl + Q1P2
4а,
X
Xl-s,(r + 0-s,(v-Qh
—rhPi + 9гРг ^
Tt (Y—01:
Z,=
4а,
Рис. 26
nlPl + Я1Р2 4ai
Х[-Г,( Y + 0-при ? > v
[-s,(Y + 0 + s.e-Y)l;
niPl + ЯъРг 4а»
[-r,(Y + 0 + r,C-Y)].
На основании этих значений функций Z по формулам (36) и (37)
рассчитаны радиальные перемещения и и напряжения ог в сечении ? = 0
•5
I.D
0.5
р-к
— W\ *4.
-- - 11
' 1
0,5
0,6
1 1
„ l-k
>’Т
КО
l-k
*• —
0.5
D
fi' У"
$ :
(г -к) — —
и/
1
1-к
j
0.5
0,6
Рис. 27
при нагружении снаружи (рх = 0, рг — р) и при длине загруженного
I — к
участка, равной толщине стенки
I —
половине этой тол-
щины
Графики зависимости соответствующих величин от к приведены на рис. 27. Пунктирными линиями показаны результаты вычислений Г. С. Шапиро [8].
Полубесконечный цилиндр, нагруженный давлением на участке вблизи торца. В этом случае (рис. 28) решение получается наложением решений, соответствующих загрузке бесконечного цилиндра на части длины и загрузке торца полубесконечного цилиндра. Величины ком-
Вариационный метод расчета полых цилиндров
453
пенсирукмцих нагрузок на торце подбирают так, чтобы суммарные напряжения на торце отсутствовали.
Суммарные выражения для функций Z1 и Z2 имеют вид: при 0 < ? < а
Zi = ”lPl4~9lP2 [S2 (а - О ~ S3 (а) S2 (?) - S2 (а) S, (?)];
22 = П?-Аа^Рк 1Т2 (а - О - 7з (а) Г2 (?) - Т2 (а) Тх (?)]; при ? > а
Zi = ЩР\а*Р* \~S2 (? - а) - 53 (a) S2 (Q - S2 (a) S, (?)]; Z2 = JhEl-Z Ml [7’2 g _ a) _ r3 (a) T2 g) - Г2 (a) 7’, (?)].
Для Цилиндра с отношением радиусов ft = 0,5, нагруженного только внутренним давлением (рг = р, р2 = 0) на длине 0,8/?, эпюры окружных напряжений показаны на рис. 28 (штриховыми линиями отмечен уровень напряжений по формулам Ляме). На рис. 29 приведены
454 Деформация щилипдров при переменной т блине нагрузке
значения максимальных напряжений о* в зависимости от длины загруженного участка, отнесенные "1 +*2 к 0(4 — Р J — •
