Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 12
Рис. 13
Графики функций S и Т приведены на рис. 12—21.
Выражения функций 2, (?) и Z2 (?) для длинного цилиндра, на >торый воздействуют элементарные нормальные и касательные на-
>узки, приведены в табл. 4 [3]. Эти выражения представляют собой 1стные решения уравнений (32) и (33) при данном виде нагрузки.
Все рассмотренные здесь виды нагрузок имеют в начале координат юбенность (излом или скачок эпюры давления, сосредоточенная на-•узка). С удалением от сечення ? = 0 функции Z быстро затухают.
Вариационный метод расчета полых цилиндров__________445
4. Выражения функций Z для длинного цилиндра
Схема нагружения
Формулы *
Pl=plt
-у, ЧР-1 4а. (“,2+<0
•S. (±Е):
-Л2Р + g р
7 Y к Т' (±Е)
г Н+<0
Z=«T
г, = ± s* (±Е);
z, = ± 4~-1?‘‘Р2- г, (±Е)
г!
31
01
* = /??
ЛаЛ — ЧгР г 4аг«
Г, (±?)
Г*ШШЕШПЩ!
•шшт
тшттгтш
г=ят
г — а1т» + 6»тг с (а_л>
1-----/ о 2\^ 1
4«. (“1+ЭО
? 1^1 с / < У\
------—s*(xE>
П а«г1 + *«гг Т I | f*\
2-----Т~2---------гГ * '
4а, (а^ + Pj)
c2^i +^2^а , , у,
------<±Ь>
* Верхний знак отиосится к правой части цилиндра (С>0), ниж-иий — к левой (t < 0).
16 Деформация цилиндров при переменной по длине нагрузке
Рис 17
Рис. 16
Рис. 18 Рис. 19
(1-К)гГз
Рис. 20 Рис. 21
Вариационный метод расчета полых цилиндров 447
Поэтому, вдали от мест, где нагрузки имеют особенности, т. е. на расстоянии, большем 2R 1 — k, напряжения и деформации определяются формулами Ляме.
Произвольный закон распределения осесимметричных нагрузок на боковых поверхностях цилиндра может быть всегда аппроксимирован как кусочно-лннейный, содержащий конечное число изломов и скачков нагрузки. При этом функции Z, обусловленные действием всей нагрузки, получаются суммированием функций, соответствующих каждой из особенностей нагрузки.
После определения функций Z напряжения и радиальные перемещения можно вычислить по формулам (30). Производные функций Z вычисляют с учетом дифференциальных соотношений между функциями Sj-hS6 и T1-J-7’6, выражаемых формулами (35). Для практических вычислений формулы (30) можно упростить. Если предположить, что на каждом участке касательные нагрузки постоянны (т. е. х1 и т2 изменяются по ступенчатому закону), то <X>j (?) = Ф (?) — 0 на каждом участке и соответствующие слагаемые из формул (30) выпадают.
Далее, эти формулы приобретают особенно простой вид при расчете напряжений у внутренней (р = /г) и наружной (р = 1) поверхностей цилиндра.
При р = k
Or = — Pi (?); = T, (5);
о2 = 4 - Z1 (?) К (*) - z2 (?) К <*);
Е (1 + *2 , \ 2 ,
U — = P1(0(r=^+v)-P2(?)r=*^
+ Zj (5) 2J j + Z.2 (?) 2J2 — v
N
ot = u--------l-vo2 — vpx (?).
ri
(36)
При p = 1
cv = — Ps (?); тгг = Тг (?);
oz=-y~Zi (?) Vl(\)-Z2g)V;(\);
' _ 2k2 _ /1 + k2 \ , Г = Pi (?) JZT/P -л€) (r^-v j +
N
(37)
3 Деформация цилиндров при переменной по длине нагрузке
В формулах (36) и (37) N — нормальная сила в данном поперечном шнии цилиндра, определяемая из уравнений статики,
Графики зависимости от k величин JXK\V[ (р) V[ (1) и соответ-вующих величин с индексом 2 показаны на рис. 22 и 23.
п
О. Значения функций V(- н К(-
Функция * = 0,2 ft = 0,4 * = 0.5 * = 0,6 * = 0,8 * = 1,0
I-*vl<*> 0,611 0,572 0,566 0,541 0,519 0,500
-0.389 -0,428 -0,444 —0,459 —0,481 —0,500
(1-*>* (*> 0.571 0,536 0,526 0,519 0,508 0,600
(!-*)• ^ 0,429 0,464 0,474 0.481 0,482 0,600
1 о * 1.910 3,148 3,890 4,702 6.478 8.333
10» „ (1 -k)i —2,298 —2.982 —3,182 —3,369 —3,627 —3,792
Вариационный метод расчета полых цилиндров
449
Цилиндр конечной длины. Выполнение условий на торцах
Если особенности внешней нагрузки (изломы или скачки эпюры давления) удалены от торцов цилиндра более чем на 2R V1 — к. а касательная нагрузка вблизи торцов отсутствует, то построенные выше решения для бесконечного цилиндра оставляют торцы практически не-нагруженными. Следовательно, в этом случае граничные условия на свободных торцах выполняются автоматически.
В противном случае формулы (30), примененные к торцовым сечениям, показывают наличие на них нормальных напряжений о2 и касательных 1гг. Если, в действительности, торцы свободны, то, чтобы
выполнить граничные условия, надо на решение, полученное для
бесконечного цилиндра, наложить решение задачи, отвечающее нагрузке на торцах, равной ог и тгг с обратным знаком.
В связи с этим необходимо рассмотреть нагружение цилиндра нагрузкой на торцах.
Так как решения однородных уравнений (32) и (33) являются быстро затухающими, достаточно рассмотреть полубесконечный цилиндр с нагрузкой на торце.
Если на торце ? = 0 имеются касательные т0 (р) и нормальные о0 (р) нагрузки, распределенные по закону
*о (р) = QiK (р) + Q2v2 (р); (39)
о0 (р) = щ -L (рК) +m2-L (рv'2y, (40)
где <2X, Q2, Mlt Mt — постоянные, то выражение функций Zt и Z* имеет вид [6]
Z, (Q = M1S1 (?) + QiSs (?); }
(D = М2Тг (?) + Q2T2 (?). J
(41)
Функции S и Т определяют формулами (35).
Если действительный закон распределения торцовых нагрузок т0 (р) и а0 (р) отличается от даваемого формулами (39) и (40), он может быть представлен в этой же форме приближенно, причем 1 1
