Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
ди R . , и R
_ (or — vat — Уог); — = — (о, — va2 — vcv);
dw R .
Iff ~ ТГ
du , dw _ , . R
- vct, — voj); _ + _ = 2(I+v)XTr.
(4)
426 Деформация цилиндров при переменной по длине нагрузке
На цилиндрических поверхностях (внутренней р = — k и
К
наружной р = 1) должны выполняться граничные условия, т. е. напряжения ог и хгг должны равняться заданным поверхностным силам:
при Р = k а, = —р, (?)• Хгг = X, (0: )
(5)
при Р = 1 О, = —р2 (С), %гг = X2 (g. J
Также должны быть выполнены условия на торцовых поверхностях цилиндра:
при z = 0 ог = 0О (р), тгг = т0 (р); ]
(6)
при г = I 0г = 0/ (р), Xrz = X, (р). J
Исключая из уравнений (4) перемещения и и до, получим два уравнения совместности деформаций, выраженные через напряжения
(1 + V) (ог — о,) + vp-^- (0, 4- ог) -Р-^ = 0; (7)
& ,
Р -Щ2 (Of — V0, — VO г) +
+ ~др(Сг~ VGr ~ w,) ~ 2 (1 + v) ijjf = °- (8>
Первое из этих уравнений является условием существования функции радиальных перемещений и, второе — условием существования функции осевых перемещений до.
Система напряжений оГа(аг и тГ2, удовлетворяющая уравнениям
равновесия (1) и (2), уравнениям совместности деформаций (7) и (8)
и граничным условиям, представляет собой точное решение задачи.
Эта задача может быть сформулирована также в перемещениях. Для этого следует с помощью уравнений (4) выразить напряжения через перемещения и подставить в уравнения равновесия. Таким способом будут получены два уравнения в частных производных относительно перемещений и и до.
Рассматриваемая задача является весьма сложной и ее решения (кроме элементарных), точно удовлетворяющие всем граничным условиям, неизвестны [5].
Если длина цилиндра велика по сравнению с его диаметром и напряженное состояние вблизи торцов не является предметом исследования, условия на торцах достаточно удовлетворить по Сен-Венану.
В этом случае цилиндр можно рассматривать как имеющий бесконечную длину.
Точное решение для бесконечно длинного сплошного цилиндра, нагруженного ступенчатым нормальным давлением на боковой поверхности, получено в работе [9]. Используя метод суперпозиции, это решение можно использовать для расчета сплошного цилиндра при нормальной нагрузке, произвольно изменяющейся по длине.
В работах [5, 7 ] рассмотрены так называемые однородные решения для сплошного цилиндра, т. е. решения, соответствующие загружению осесимметричной нагрузкой торцов цилиндра при свободной боковой его поверхности.
Точные решения задачи
427
К сожалению, система однородных решений не позволяет полностью удовлетворить граничным условиям, наложенным на нормальные и касательные нагрузки на торце. Метод приближенного решения этой задачи предложен в работе [5].
Для полого цилиндра выкладки, связанные с построением точных решений, становятся чрезвычайно сложными и предпочтение должно быть отдано приближенным решениям задачи; методы таких решений приведены в работах [I, 2, 3, 6].
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ Элементарные решения
Нормальное давление, изменяющееся по длние цилиндра по линейному закону. Если внутреннее р> и наружное р2 давления изменяются по линейному закону в зависимости от ?, то распределение напряжений в каждом поперечном сечении цилиндра совпадает с тем, которое имеет место при постоянных по длине давлениях, т. е.
сгл = Л—Я-^-; at = A + B-~,
где
А = \ — Рд
^‘2
В = j----р (р, — р.2) — также линейные функции t [см. формулы
(7)— (9) гл. 15].
Напряжения в поперечных сечениях цилиндра отсутствуют
аг = 0; 1гг — 0.
Легко видеть, что указанная система напряжений удовлетворяет уравнениям равновесия (1), (2), уравнениям совместности (7, 8) и граничным условиям на цилиндрических поверхностях:
при р — k с, = — рх;
при р = 1 о> = —ps.
Торцы цилиндра при этом свободны от напряжений.
Радиальные перемещения
« = 4- [(‘ — V) Ар + (1 + V) В -i-]; (9)
осевые перемещения
R Г 1 — v dA2 . dB . I 2vfl
28 Деформация цилиндров при переменной по длине нагрузке
Первый член в формуле (10) характеризует депланацию поперечных сечений цилиндра (одинаковую для всех сечений, так как Л и В — ;инейно зависят от ?), второй —¦ упругие их перемещения без искаже-[ия плоскости и третий — перемещение цилиндра как жесткого тела.
Цилиндр, нагруженный постоянными по длине осевыми поверх-юстиыми силами (рис. 2). Условия на боковых поверхностях в этом
случае таковы:
k аг= 0, iT,
при p=ft тгг=т1;
при р=1 о,=0, тгг=т2.
(И)
Решение задачи получим, предполагая, что напряжения о> и а; везде отсутствуют, напряжение хгг не зависит от ?, а напряжение аг не зависит от р.
Тогда первое из уравнений равновесия (1) удовлетворяется тожде-:твенно, а второе приводит к равенству
id,, da2 r
T'~dpiPXrz)~~~~
де С — постоянная.
dt.
Интегрируя это равенство и определяя постоянные из условий (II) ia поверхности, получаем
тгг = Ср -{" Ci — » <Jz — С2 — 2С?, (12)
де
С =
(Tj — /гтг) k
1
/г2
(13)
Величина постоянной С.г зависит от того, на каком торце приложена )севая нагрузка, уравновешивающая равнодействующую Р ~ = 2nRl (т2 — kit), воздействующих на боковую поверхность цилиндра (асательных сил. Если эта нагрузка приложена на торце г = I, а торец г = 0 свободен от нормальных напряжений, С2 = 0.
