Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
ог
1. Отношение ---
г ~С р = и .) = 0,2 У =0,4 р — 0,6 0=1
0 0,68.) 0,719 0,810 0,962 1,117
0,1 0,673 0,700 0,786 0,937 1,163
0,2 0,631 0,652 0,720 0,859 1,344
0,3 0,582 0,594 0,637 0,737 2,022
0,4 0,539 0,545 0,565 0.617 1,368
Из табл. 1 видно, что при такой малой (по сравнению с зоной при-пожения нагрузки) длине средней части цилиндра распределение напряжений в среднем сечении далеко не равномерное. На торцах цилиндра имеют место самоуравновешенные нормальные напряжения, в данном :лучае довольно значительные. Так, в центре торцового сечения г = L, з=0 аг = 0,311 ош (растяжение), а на периферии (г = L, р = 1) jz = —0,117am (сжатие).
Решение в форме интеграла Фурье. Распространение изложенного выше метода тригонометрических рядов на цилиндр бесконечной длины
(L->oo) приводит к представлению искомых величин в виде интегралов Фурье.
Формальная запись соответствующих выражений не представляет труда, но вычисление интегралов затруднительно. Приемы вычисления указаны в работе [5], гл. 7, § 6.
Результаты расчета (рис. 4) для сплошного цилиндра, нагруженного ступенчатым давлением, приведены в работе [9]. Здесь при ?<0 (сгг)р=1=0; при ?>0 (о>)р=1= = —р.
Графики распределения напряжений и радиальных перемещений по длине цилиндра на рис. 4 вычислены при v = 0,3. Эти графики показывают, что влияние скачка давления в сечении ? = 0 распространяется вдоль оси цилиндра на расстояние порядка его радиуса в обе стороны. Вне этой зоны напряжения и деформации с высокой точностью определяются формулами Ляме (т. е. в левой части цилиндра стремятся к нулю, а в правой ог -> 0; trz -> 0, or -> —р, at -> —р,
Рассмотренная задача имеет весьма большое значение, так как с ее помощью можно, пользуясь принципом независимости действия сил, рассчитать напряжения и деформации, вызываемые нормальной нагрузкой, изменяющейся по длине цилиндра по произвольному закону. С этой целью реальный закон распределения нагрузки аппроксимируют
fc= p: 1 Ct
—H «4 1 T
L_ 2* jL L_
Рнс. 3
Точные решения задачи
433
Рис. 4
15 Справочник, т. 2
434 Деформация цилиндров при переменной по длине нагрузке
ступенчатым, а затем напряжения и деформации, вызываемые каждой из элементарных ступенек, суммируют.
Схема разложения нагрузки для случая, когда равномерным давлением нагружен участок боковой поверхности цилиндра, показан на
рис. 5. Из схемы следует, что для получения эпюр напряжений в этом случае необходимо из эпюр рис. 4 вычесть такие же эпюры, смещенные вправо на длину участка нагружения. Полученные таким способом эпюры для случая, когда длина загруженного участка составляет 0,15/?, даны на рнс. 6. Эпюры свидетельствуют о том, что ирн малой длине участка нагружения формулы Ляме не могут быть использованы для оценки напряжений и деформаций. Решение задачи о нагружении цилиндра касательными силами с помощью интеграла Фурье рассмотрено П. 3. Лифшицем (см. [5], гл. 7, §8).
-Р
Рис. 5
Напряжения вблизи торца сплошного цилиндра
При представлении решения задачи об осесимметричном нагружении цилиндра в рядах или с помощью интеграла Фурье не удается точно выполнить граничные условия на торцах цилиндра. Если торцы удалены от места нагружения более чем на R, то это несущественно, так как на такой длине влияние нагрузки затухает.
В противном случае, на напряженное состояние, соответствующее нагружению цилиндра по боковым поверхностям, следует наложить напряженное состояние, соответствующее нагружению торцов при свободной боковой поверхности.
Для отыскания решений задачи, удовлетворяющих на цилиндрической поверхности условиим (аг)(1 =1 = 0 и (тгг)р=_1 = 0 (однородных решений), можно использовать формулы (21)—(24), полученные для синусоидальной нагрузки.
При этом необходимо потребовать, чтобы постоянные Сх и С3 не обращались в ноль при равных нулю величинах нагрузки Р и Т. Это возможно только, если определитель D ф) системы уравнений для Сх и С3 обращается в ноль.
Следовательно, характеристические показатели Р определяются уравнением
(р2 + 2—2v) /* (р) - Р% (Р) = 0. (26)
Корни этого уравнения являются комплексными вида ps = ±ys ± it i&s. Вычисление корней (см. работу [7 ]), дало следующие их значения (при v = 0,25):
6........... 1 2 з
Ys.......... 1,367 1,558 1.818
6S.......... 2.698 6.060 9,320
Точные решения задачи
435
436 Деформация цилиндров при переменной по длине нагрузке
При s>> 3 может быть использовано асимптотическое выражение
корней:
Ys = -4- In 4jis;
6S — ns-7-— Г In 4ns + ----------4vl .
4as L 2 J
Так как теперь показатели Р являются комплексными, место тригонометрических функций cos и sin займут функции
е±6*Е (As cos Ys? + Bs sin ysQ.
При этом затухающим с удалением от торца ? = О решениям соответствует знак минус перед 6S.
Соответственно должны быть также преобразованы в связи с комплексностью р формулы для напряжений и перемещений.
В результате установлено, что каждому значению ps корня уравнения (26) соответствует однородное решение с перемещениями и напряжениями, определяемыми формулами
u(s) = {Ms [u(s’ r) cos Ys? — «<s' 0 sin Ys?] —
