Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
— Ns [u(s'r) sin YsS + u{s' 0 cos Ys?J) e 6sE; w{s) = {Ms [u>(s> r) cos YsS — u>s'1 sin Ys?] —
— Ns n sin Ys? + wts’ r) cos YsSJ} e
фГ = \Ms [f*'П cos Ys? — 4'i5,0 sin Yss] -
— Ns [«fi5’ r) si" Vs? + ЧР* ‘ r) cos yД} e_6sE.
где k — 1, 2, 3, 4, причем = or; <ps = at; (ps ~ аг; q>4 = xrZ.
В этих формулах Ms и Ns — произвольные коэффициенты; u(s-r>, u{s' тrK t*®' l) —функции безразмерного радиуса p. В табл. 2
приведены значения этих функций для s = 1 и s = 2, заимствованные из работы [5]. Графики функций показаны на рис. 7.
Напряженное и деформированное состояние цилиндра, нагруженного на торце, описывается суммой выражений, соответствующих различным номерам s.
Если нагрузки на торце { = 0 о2 = f (р) и тгг = —Ф (р) заданы, то необходимо подобрать коэффициенты Ms, Ns (s = 1, 2 . . .) так, чтобы одновременно выполнялись условия
со
/чр)= 2
S =1 со
ф(р) = - 2 K4%,)-VMi]-
s=1
Точные решения задачи
437
2. Значения функций <pjj,s’r4 4>^s’ **
Функция р = 0 Р = 0,2 р=0,3 р = 0,6 р = 0,8 P = 1,0
«о- о 0 0,1478 0,2124 0.3240 0.3059 0,2241
„(1. i) 0 —0,2394 —0,3376 -0,4836 —0,4706 —0,4422
„(2, Г) 0 —0,4335 —0.524 —0,190 —0.0927 0.0600
„(2, i) 0 0,4759 0.522 0,011 —0.2208 —0,2322
«,<1, г) 0.8906 0,7953 0.6819 —0.358 —0.1568 —0,3050
ю(1. '¦) —0,1552 —0,1139 —0,0707 0,051 —0,0441 —0,2799
ш(2. ') —1,118 —0,7377 0,1756 0,388 0.0794 —0,2448
ш(2, D 0.5443 0.2753 0,0306 —0,137 0.0462 —0,1173
„(1.Г, 0.4302 0,403 0,368 0,172 0,014 0
„О, 0 —1,699 —1,517 —1,309 —0,485 —0,081 0
0(2.л) —2.119 —1.247 —0,34 1,58 0.721 0
0(2, i) 3.490 1.658 —0,02 —2,233 —0,746 0
of-'» 0,4302 0,4571 0,485 0,6053 0,676 0,7004
о}1- 1'> —1.699 —1.638 —1,562 —1,185 -0,843 —0,4769
с<2-'> —2.119 —1,959 —1,75 —0,602 0,2103 0.3456
а{2, 0 3,490 2,784 2,024 —0,244 —0,6687 —0.2271
„<•„> —2,522 —2,273 —1.966 —0,450 0,776 1.681
о'1- ') 1,195 0,952 0,685 -0,221 —0,351 0,303
„(2.0 6,369 4,252 2.092 -2.42 —0,456 2.151
„(2. /> —4,479 —2,410 —0,581 1,17 —0,551 0,335
-(1. 0 V, г 0 —0,5007 —0,7186 —1,030 —0.7628 0
,(1. 0 Г. Z 0 0,6171 0,8357 0,8790 0,4486 0
t(2, г) г, z 0 2,669 3,17 0.64 —1.325 0
t(2. «) г, г 0 —2,880 —3,04 0.28 0.889 0
438 Деформация цилиндров при переменной по длине нагрузке
Рис. 7
А. И. Лурье предложил для приближенного решения задачи при ограниченном числе п учитываемых членов ряда определять коэффициенты Ms, Ns из условия минимума выражения
/ = i1[f(P)-^ Г>“Ns°*'0)] +
+ (P) + 2 (Л4Ж tg- 0 - Ns 41-1>) j J p dp.
Это условие приводит к системе линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.
При я = 2 коэффициенты определяют по формулам Mx = 2.391(f)! — 0,4256<р2 — 4,222% — 0,1830%;
М2 = —0,4256ф! + 0,9730фа + 1,675% — 0,7215%;
Ni = —4.222(f), + 1,675ф2 + 12,44% + 0,2018%;
N2 = —0,1830ф! — 0,7215фа + 0,2018% + 1,360%, где (
4>s = j [F (Р) °г8’Г) — Ф (Р) r)] р dp;
о
1
% = — f [F (р) о<5'1) — Ф (р) *>] р dp
S (s = 1. 2).
Вариационный метод расчета полых цилиндров__________439
ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОЛЫХ ЦИЛИНДРОВ Основные уравнения
Методы решения, основанные на точном выполнении уравнений теории упругости для полого цилиндра, не отличаются от методов, рассмотренных выше применительно к цилиндру сплошному. Решение также может быть разложено в тригонометрический ряд или представлено в виде интеграла Фурье.
Однако трудоемкость вычислений возрастает в такой степени, что получение количественных результатов становится затруднительным. Можно указать лишь работу Г. С. Шапиро [8], в которой получены некоторые числовые результаты для полого цилиндра, нагруженного равномерным давлением на участке боковой поверхности.
Для полого цилиндра следует отдать предпочтение более простым приближенным методам. Ниже кратко изложен такой метод [1, 3, 6]. Рассмотрим цилиндр с наружным радиусом R, внутренним rlt нагруженный на цилиндрических поверхностях нормальными и касательными силами р1 (г), т1 (г) (на внутренней поверхности), р2 (г), т2 (г) (на наружной поверхности).
Введем безразмерные координаты = р, = ?. Отношение
К Н
радиусов обозначается ~~ = k.
н
Решение может быть использовано прн 0,2 < k < 0,9. При k ^ 0,9 цилиндр можно рассматривать как тонкую оболочку (см. гл. 22 т. 1).
Выражение для касательного напряжения зададим в виде ряда
Ю Р + Ю-— + К (?) V\ (р) + Ц ю v'2 (р), (27)
где
ф; (?) = (х2 - *TiK; ф2 ю = г=Т2 (ь - кч); (28)
V7, (р), V2 (р) — заданные функции р, равные нулю при р = ft и р = 1; Zi (?). (t) — искомые функции.
Первых два слагаемых выражения (27) позволяют удовлетворить условиям, наложенным на касательные напряжения на поверхностях р = k и р = 1; они представляют собой точные значения указанных напряжений, если нагрузки т, и т2 постоянны [см. формулы (12)].
Последующие члены формулы (27) соответствуют напряжениям, возникающим в связи с изменением по длине цилиндра касательных и нормальных нагрузок. Функции Ф\ Z', V' представлены в виде производных от первообразных функций Ф, Z, V для упрощения выкладок.
Увеличение числа учитываемых членов ряда (27) приводит к увеличению точности расчетов, однако прогрессивно возрастает и их трудоемкость. Удовлетворительную точность расчета достигают при удержании двух функций Z, и Z3.
