Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
440 Деформация цилиндров при переменной по длине нагрузке
В качестве функций (р) и V2 (Р) в работе [7] приняты выражения 181
^(p)-18(i1+fe)[-2(1+fe)p3 + 3(1+fe + + k?) р2 — ka (3 + k + k3) — 6k? In J ;
(29)
где X — коэффициент, не зависящий от р.
При заданном законе изменения хгг можно, интегрируя уравнения (1) и (2) с учетом уравнения совместности (7), получить значения всех компонент напряжения и радиального перемещения. При интегрировании учитывают, что при р = k сг — —р (?) и при р = 1 сг =
= — Pi (0-
Полученные формулы имеют вид
c, = -2Q1g)-Z1-^(PK)'-Z2-L-(pV'2y;
or = Ag)-B(Q-L-ф;'?)х
„ (3 + У)(1-рг)(ра-^2)
Х 8р2 +
' 1 4- v
+ Ф2Ю-^Р
In
1 /г2 (1 - р2)
р р2(1-*2)
2
+
Ж
1 = 1
xI"1]-tSz^+
^ 1=1
р
J Vipdp-Vi(p)-Ji(^l--^r)
1 — V
X [(3 + v) (/г2 +р2 + fc2p2) - (1 + 3v) р4] +
4" (?) ? ‘
-q+vX^ + fe2). 1
2р2 (1 — *2) k
1 —V
+
(30)
Вариационный метод расчета полых цилиндров__________441
<0 (l_v) +*<0-1+1-* « . Г 1 — v , 1 4-v k2
-Ц=^(р4-2р2А=2 + ft2)] +
+ ®S<B-g^r (t3 + k2 + v О - *2)1 X
X [p.* + k2 — v (p2 — fe2)] — (1 — v2) X
X (P2-*2)2} +2v®,(0 +
2
+v (i+v)~l 2ziK + ^ i— 1
2
P
X J Vip dp .
В приведенных выше формулах
А Ю = yZTfea (Л*2 — Рг); ^ (О = fZTfeg — Рг);
1 —*2
Величина —2ФХ (0. входящая в формулы для аг и и, представляет собой равномерно распределенное по поперечному сечению цилиндра напряжение, соответствующее нормальной силе N в этом сечении:
__9ф N
1 я Я2 (1 — к2) '
Найденные напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия и граничным условиям на цилиндрических поверхностях.
Также выполняется уравнение совместности (7). Уравнение совместности (8), т. е. условие существования функции w, точно не выполняется.
В соответствии с вариационным принципом Кастилиано [4] наилучшее приближение может быть достигнуто при экстремальном значении энергии деформации.
Выразив удельную энергию деформации через напряжения и проинтегрировав ее по всему объему цилиндра, приходим к выражению
W(l)-(l-v) j Vipdp
(31)
12 Деформация цилиндров при переменной по длине нагрузке
3. Коэффициенты уравнений (32) и (33)
Коэффициенты ft = 0,2 ft = 0,4 Jtr II p СП со о II ft = 0,8 ft = 1,0
10s (1—ft)2 88,133 60.292 52.485 46,728 39,393 35,000
4 1.95 1,33 1.06 0,915 0,680 0,545
m\{ 1-*)» 11.4 6,75 5,42 4,55 3,40 2,72
n, (I-*)8 4,40 7.90 9,15 9,95 11,2 12,0
9. <l-*>* 22.6 17.1 15,5 14,4 12,9 12,0
o, (I-*)’ 22.9 17,1 13,8 11,0 6.71 3,60
by (1—A)3 36,9 13.5 7,69 3,74 —1.01 —3,60
c, (1—ft)3 —2,23 —2,57 —2,37 —2,04 —1.12 0
rf, (1-ft)3 —7.29 —4,58 —3,60 —2.75 —1,28 0
Sjll-*)2 8,55 6,60 6.35 6,20 6,05 6,00
m| (1—ft)* 178 142 136 132 129 128
«2 (1—ft)1 18.4 28.9 32.6 35,1 39,1 42,1
9» (1—*)* —62.9 —53,4 —50,9 —48.6 —45,2 —42,1
o2 (1—A)5 180 169 167 165 166 168
62 (1—ft)= —186 —183 —179 —176 —171 —168
c% (1—*>“ —3.0 —2,43 —1,86 —1.25 —0,339 0
d* (1-*)“ 7.63 3.89 2,56 1,60 0,380 0
юлной энергии в виде функционала, зависящего от неизвестных функ-шй 7.у и Z2. Условия стационарного значения этого функционала (урав-[ения Эйлера) представляют собой систему двух обыкновенных диффе->енциальных уравнений четвертого порядка относительно Zt и Z2.
Надлежащим выбором коэффициента К в формуле (29) можно до-шться того, чтобы эти два уравнения стали практически независимыми. Соответствующие значения к (при v = 0,3) приведены в табл. 3. Уравнения принимают вид
Z{v - 4s2/' + 4mfZ, = /, ©; (32)
Z‘v-4s^ + 4 mlZ2 = f2(Q, (33)
d3 d
h (?) = (— niPi "Ь ЯъPi) (aiTi + ^iTa) +
d3 (34)
+ (ciri + ^1тг);
Вариационный метод расчета полых цилиндров
443
сР d
-jgb- ( nlPl + <?2Pi) + ~Щ~ (а2т1 + *2Ti) +
da
+ -^з" (С2Т1 + ^2Т.') •
(34)
Значения входящих в эти выражения числовых коэффициентов приведены в табл. 3. Для облегчения интерполяции в таблице приведены
\
\
\ У
\
¦Itfi кr
/
/
Ф*)3 пгр-К)
SiM*
г?
0,2 0/> 0,6 О,В к
Рис. 8
о о,г о,<* о,б о,8 к
Рис. 9
3» 1,1
x
\
\ V
\
a,/i
д/
О 0,2 0,6 0,8 к
Рис. 10
не сами значения коэффициентов, а их произведения иа (1 — к) в различных степенях. Графики зависимости коэффициентов пн q от k приведены на рис. 8 и 9.
Характеристические уравнения, соответ- V ствукицие дифференциальным уравнениям (32) ,
и (33), имеют корни '
х — ±« ± РЛ
где а = V'п2 + s'- Р = Vт1 — s2.
Изменение этих величин в зависимости от k
V
2,5
U5
1
fliff-k)
О 0,2 G.V 46 W к
Ряс. И
показано на рис. 10 и 11.
Практическую важность имеют лишь затухающие с увеличением ? решения уравнений (32) и (33).
В дальнейшем будут использованы следующие функции, являющиеся решениями уравнения (32) без правой части:
S2 (?) =
Sx (t) = -J— e~a't sin (Pi? + ф1);
Sin (f>! ^ *
1 1
2m'j
m, }^2 sin
.—
sin
s3K)=s;©=-
1
Sin (jp!
e a,s sin (PjS — tpi);
(35)
i Деформация цилиндров при переменной по длине нагрузке
S4 (?) = S3 (О = е-“*е sin #в.с -:
sin (Р^ — 2<pi);
S5(Q = S4(Q.
Pi
-------т—— e “lE sin (Px? — 3®,),
Sin ф] ''
“i
e ф1 = arctg
Также введем функции Tt-hTb, отличающиеся от функций S1^S8 меной аг\ Pj; nij на а2, р2, т2 и (ляющиеся решениями уравне-1я(33) без правой части.
