Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Перемещения определяются равенствами
ai = -?- |С(р2-
и = -У^(С.г-2С0 р;
- С") + 2 (1 + v) ct lnp + c^ + cs],
(14)
¦де С3 — постоянная, определяющая перемещения цилиндра как жесткого тела.
Синусоидальная нагрузка иа цилиндр
Предполагаем, что нагрузки на цилиндрических поверхностях заданы выражениями:
при г — гу сг — —cos Р?,
хгг = Г, sin Р?;
при г = R ar = — Р2 cos Р?, т,г = Tj sin Р?.
(15)
Точные решения задачи
429
Следовательно, рассматриваем симметричное относительно сечения ? = 0 нагружение.
Все приведенные ниже формулы пригодны и для кососимметричной нагрузки, если заменить в них cos PS и sin pt соответственно на sin Р? и (—cos Р?).
Выражения для перемещений, зададим в форме
w = RW sin PS; и — RU cos р?, (16)
где IV" и U — искомые функции безразмерного радиуса р.
Подставив принятые выражения перемещений в формулы (3) для деформаций, а затем вычислив по закону Гука напряжения, следует потребовать выполнения уравнений равновесия (I) и (2).
Таким способом получаем систему двух обыкновенных дифферен циальных уравнений для функций U (р) и W (р):
-р + (l-2v)(tT +-LlT')_
— 2 (I —V) P2U7 =0;
/ I iv (1?)
— (I - 2v) P2U + PU7' = o,
где штрихами обозначены производные по р.
Исключая из этой системы одну из функций, например U, приходим к уравнению четвертого порядка
+ — W'" — ^ -L + 2P2^ W" +
+(p^~T)r'+p4W'=a (18)
которое может быть представлено также в виде
Общим решением этого уравнения является выражение
W = Сг1 о (рр) + С.2Ко (Рр) + С3р/, (Рр) + C#Ki (Рр); (20)
здесь Iп (Рр) — i~nJn (фр) — бесселева функция от мнимого аргу-
мента; Кп (Рр) — функция Макдональда (при р = 0 функции Ко и /С, обращаются в бесконечность).
Функция U определяется равенством
U — —С,/1 (Рр) + C2Ki (Рр) 4 Сч ?—р/о (Рр) I----------- 11 (Рр)J
+ Q [рКо (Рр) + HLziH Kl (рр) j, (2i)
30 Деформация цилиндров при переменной по длине нагрузке
Напряжения в цилиндре находят из выражений
о, = 2G jpCj (-1. /t -/„) - рс2 (JL ^ + Кв) +
+ CS [(3-2v)/0-(pp + ^
-с4 [(3-
2V) Ко +
рр
(р,н 4(1-v)
рр
cos PS;
о, =
{-
2 G
[1I!Sra'‘_<l_2v)',] +
/C1 + (l-2v)/f0]}cosPS;
1^/, + СгТК1 +
+ Са
[
Pp
4 (1 — V)
Pp
oz = 2G fCiP/o -I- C2p/C0 + cs (Pp/i + 2v/0) +
+ C4 (Pp/(j — 2v/(o)] cos Pg;
= 2G I C,p/j C2PKi -J- f-a {Pr/« 2(1 v) 11] ¦
— c4 [Pp/Co + 2 (1 - v) Kl]} Sin K.
(22)
)
В формулах для напряжений аргумент Рр бесселевых функций для :раткости опущен. Граничные условия (15) приводят к системе четырех шнейных алгебраических уравнений относительно постоянных С1—С4.
В общем случае полого цилиндра выкладки являются сложными; •ни существенно упрощаются для цилиндра сплошного; в этом случае .олжны равняться нулю коэффициенты С2 и С4 при функциях, обра-цающихся в бесконечность при р = 0.
Постоянные Сх и С3 для сплошного цилиндра определяют из урав-[ений
С1 =
1
2оЩр) {Р f2 0 ~ v) (Р) “ Р7» ©I +
+ Т [ ¦j- (Рг + 4 - 4v) h (Р) - (3 - 2v) /„ (Р)] } ;
Сз = (Р) + Т Vi (Р) ~ Р7» (Р)]}•
•де
2GD (Р)
D (Р) = (р2 + 2 _ 2v) l\ (Р) - fill (Р).
(23)
(24)
Значительный интерес представляет случай большого Р, т. е. на-•рузки, быстро изменяющейся по длине цилиндра.
2 nR
Можно показать, что если длина волны нагрузки —^— мала по
:равиению с радиусом R цилиндра, деформации и напряжения локали-1уются вблизи поверхности цилиндра, не проникая вглубь. При этом, 5 пределе, решение задачи для цилиндра переходит в решение соответствующей задачи плоской деформации для полуплоскости.
Точные решения задачи
431
Несинусоидальная нагрузка сплошного цилиндра
Решение в рядах Фурье. Произвольная нормальная и касательная нагрузка, распределенная по длине 2L цилиндра, может быть представлена в виде тригонометрического ряда
ос )
(°ЛР=1 = —Ро — 2 cos Ps?;
S=1
(^Л^)р: 4 - 2 S’11 PsS>
S=1
где
L
k = "X s; Po = ~ 2Г j (0,)P=1 dz'
—L
L
R
ps =-------^ J COS PsS dt-,
__
R
L
R
rs=4- J (х,г)р=! sin psC
R
Приведенные выражения относятся к симметричной относительно сечения ? = 0 нагрузке. Как уже указывалось для кососимметричной нагрузки, cos р? и sin р? должны быть заменены иа sin Р? и (—cos Р?)-Нагрузка р0 вызывает напряжения и деформации, определяемые формулами Ляме, а каждый из последующих членов разложения — в соответствии с приведенными выше формулами.
Следовательно, в каждом частном случае нагружения задача сводится к суммированию соответствующих рядов.
Эффективные приемы такого суммирования рассмотрены в работе [5 J, гл. 7, § 5.
Указанный метод расчета использован в работах 1 Л. Файлона [10] и М. Бартона [111, в которых приведены числовые результаты для ряда частных случаев нагружения.
Так, например, Л. Файлон исследовал распределение осевых напряжений ог в цилиндре длины 2L ~ nR, нагруженном равномерно
2
распределенными касательными силами на участках----------------— Z. <_ г <.
О
I 1 2
<—— L н L (рис. 3). Отношение напряжения аг
О О О
1 Некоторые результаты Файлона приведены в курсе теории упругости С. П. Тимошенко.
132 Деформация цилиндров при переменной по длине нагрузке
2nRl
i различных точках цилиндра к среднему напряжению сш = q —пдг~ фиведено в табл. 1.
