Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Книга рассчитана на студентов старших курсов, аспирантов, научных работников в области физики и астрофизики, теоретиков и экспериментаторов, которые, как и авторы книги, надеются на реальность лозунга гравитационно-волновой астрономии в не слишком удаленном будущем, и, может быть, готовы приложить усилия для его приближения.
Работа над книгой выполнялась в рамках Договора о сотрудничестве между МГУ и Карловым университетом в Праге. Авторы признательны профессору В. Б. Брагинскому, заведующему отделением радиофизики в МГУ, и профессору И. Кваснице, заведующему кафедрой математической физики в Карловом университете, за поддержку этого сотрудничества, стимулирующие дискуссии и интерес к нашей работе. Большую помощь в подготовке рукописи (особенно русского перевода чешской части) нам оказали Б. Ф. Полковников, а также Т. Бротанек и Елена Шмид-кова — им приносят авторы свою искреннюю благодарность. Часть I
ГРАВИТАЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Глава 1
ИЗБРАННЫЕ РАЗДЕЛЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Большинство монографий, посвященных общей теории относительности (ОТО), начинаются обзором специальной теории относительности (СТО), например [1—3]; модернизированное изложение СТО содержится в [4]. Мы предполагаем, что основные понятия СТО — пространство-время, тензорный анализ в плоском пространстве-времени Минковского, понятие тензора энергии-импульса и т. д. — читателю известны. Основы ОТО, в частности вопросы, важные для теории гравитационного излучения и методов его детектирования, будут изложены в этой вводной главе.
§ 1.1. ОСНОВЫ ото
Физической основой ОТО является принцип эквивалентности. Этот принцип определяет, как физические системы реагируют на заданное (внешнее) гравитационное поле. О гравитационном поле пока предположим, что оно находится в пространстве-времени. Принцип эквивалентности можно сформулировать так:
в произвольном гравитационном поле в каждой точке пространства-времени можно выбрать локально инерциальную систему отсчета (ЛИСО), такую что в достаточно малой окрестности рассматриваемой точки уравнения, описывающие физические законы, будут иметь такой же вид, как в инерциальных системах в отсутствие гравитации, т. е. как в СТО *.
ЛИСО являются свободно падающими (и притом невращаю-щимися) системами: это, например, лифт, свободно падающий в поле Земли, спутник на орбите вокруг Земли, а также лифт, покоящийся относительно Земли в момент разрыва держащего его троса. В каждой точке пространства-времени таких систем существует бесконечно много, переход от одной к другой осуществляется с помощью преобразования Лоренца.
* Во избежание недоразумений сразу оговоримся, что переходом к ЛИСО невозможно уничтожить неоднородности гравитационного поля, которые описываются тензором Римана; от величины неоднородностей зависит размер малой окрестности (детали см. дальше и, например, в [2]).
8 Пространственно-временные координаты, используемые (в окрестности данного события) в ЛИСО, обозначим* как ga(a = 0, 1, 2, 3).
Свободная частица (движущаяся только под действием гравитации) с ненулевой массой покоя движется в ЛИСО без ускорения:
d^--0, где (1.1)
(it2
T]a? — метрика МиНКОВСКОГО (T)OO = — 1, л 11 = Л22 = Лзз = 1, Tlap = O для <X^?).
В произвольных координатах (которые могут охватывать и все пространственно-временное многообразие)
= .(1.2)
уравнение движения (1.1) имеет вид
d?xa d)fi Clx^n
+ I?v—--Z—=U, (,1.6)
dt2 1 dx dx где
dt^—g^dx*, (1.4)
a _ ox« agp «Г
Уравнение (1.3) известно как уравнение геодезической, собственное время dx (которое показывали бы часы, связанные с рассматриваемой частицей) связано с пространственно-временным интервалом ds соотношением
—dx2 = ds2 = gazd^dx*, (1.6)
где gap — ковариантные составляющие метрического тензора в координатах Xv-, которые связаны с коэффициентами аффинной связности (символами Кристоффеля) T?V соотношениями (запятой обозначим производную по Xа)
^v=Yga" + (1-7)
здесь контрвариантные компоненты метрического тензора ga? составляют матрицу, обратную к g-a?,
&apgp?==?? (символ Кронекера). (1.8)
С помощью gap и ga? мы поднимаем и опускаем индексы, рассчи-
* В главах 1—4 используются (если нет оговорок) «геометризованные» единицы, в которых скорость света с= 1, гравитационная постоянная <7=1; тогда прямо обозначает время.
9 тываем модули и скалярные произведения векторов и т. п., аналогично тому как в СТО это делается с помощью t]a? и r|a?. Например, g^B*=AvB" = AvB^v.
По геодезическим движутся все пробные частицы вне зависимости от их массы или состава. Выберем частицу с начальным 4-вектором скорости, удовлетворяющим условию нормировки
U» = Jf-y g U11UV = -I. (1.9)
dx
Это выражение есть не что иное, как другая запись (1.4). Оно задает начальные условия (положение и скорость) при некотором т = то, и решение уравнения геодезических (1.3) однозначно определяет дальнейшее движение частицы, т. е. ее мировую линию Xv-(X) в пространстве-времени. Легко убедиться, что вследствие (1.3) и (1.7) нормировка (1.9) справедлива для всех т, если она выполнялась для т=То. В самом деле, все частицы падают в гравитационном поле «одинаково», т. е. при одинаковых начальных условиях движутся па идентичным геодезическим, вне зависимости от их инертной или гравитационной массы, что является отражением равенства инертной и гравитационной масс. (Экспериментально это равенство проверено к настоящему времени с точностью, превышающей 10~и, в последних измерениях Брагинского и Панова [65].)
