Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
1°. Конечно-разностная замена уравнений с частными производными ............................................... 252
2°. Задача Дирихле для уравнения Лапласа................. 254
3°. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности ..................................................... 255
4°. Общие замечания относительно метода конечных разностей .................................................. 256
§ 4. Асимптотическое разложение.............................. 256
1°. Асимптотическое разложение функции одного перемев-
ного................................. 256
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
2°. Метод Ватсона построения асимптотических разложений .................................................... 261
3°. Метод перевала....................................... 264
§ 5. Понятие о вариационных методах.................... 267
1°. Принцип Дирихле...................................... 267
2°. Задача о собственных значениях....................... 269
3°. Минимизирующие последовательности.................... 271
4°. Поиятие о методе Ритца............................... 272
5°. Построение приближенного решения задачи о собственных значениях. Понятие о методе Бубнова — Галеркина 273
§ 6. Построение приближенного решения задачи Дирихле для
гармонических фуикций в круге............................ 275
1°. Задача Дирихле для гармонических фуикций с разрывными краевыми условиями................................. 275
2°, Справедливость формулы Пуассона решения задачи
Дирихле при наличии разрывов в краевых условиях 276
3е. Построение приближенного решеиня задачи Дирихле
для гармонических функций в круге.................... 278
Р л а в а VII
Нелинейные уравнения в частных производных................... 280
§ 1. Уравнения Коши — Ковалевской..................... 280
1°. Определение системы Коши — Ковалевской и постановка задачи Коши для нее............................... 280
2°. Редукция системы (3) к системе первого порядка . . . 281
3°. Задача Коши с аналитическими данными. Теорема
Коши — Ковалевской................................... 283
4°. Понятие мажораиты аналитической функции.............. 285
5°. Доказательство теоремы Коши — Ковалевской при отсутствии в задаче (17), (18) пространственных переменных ......................................... ... г . . 286
6°. Доказательство теоремы Коши — Ковалевской для задачи (17), (18)......................................... 288
7°. Некоторые другие замечания относительно задачи
Коши (18) для системы Коши — Ковалевской (17) ... 291
§ 2, Нелинейные гиперболические и эллиптические уравнения
второго порядка............................................ 2Й2
1°. Нелинейные уравнения гиперболического типа .... 292
^ 2°. О единственности решения задачи Гурса.................. 296
3°. Задача Коши для одной квазилинейной гиперболической системы............................................ 296
4°. Об однозначной разрешимости задачи Дирихле для
линейного эллиптического уравнения второго порядка 299
5°. Достаточное условие единственности решения задачи Дирихле для нелинейного равномерно эллиптического
уравнения второго порядка............................ 301
$ 3, Некоторые классы нелинейных уравнений в частных производных ...................................................... 304
I9. Общее представление решений одного класса квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка................................................. 304
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
2°. Редукция одного класса квазилинейных уравнений
второго порядка к линейному уравнению................ 307
3°. Некоторые другие примеры уравнений вида (95) . . . 310
4°. Построение точных решений еще одного класса квазилинейных уравнений....................................... 312
5°. Система уравнений ферромагнетизма.................... 314
6°. Одномерный случай гамильтониана (119)................ 317
7°. Варианты уравнений гравитационного поля.............. 318
8°. Уравнение Лиувилля................................... 321
9°. Синус-уравнеиИе Гордона.............................. 323
10*. Задача Коши — Дирихле для одного класса нелинейных уравнений параболического типа ...................... 323
11е. Задача Коши для уравнения (86)................ ... 327
Предметный указатель ......................................... 330
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Книга охватывает традиционные разделы теории линейных уравнений в частных производных в основном второго порядка. Отдельные главы посвящены элементам теории аналитических функций и теории линейных интегральных уравнений, поскольку в значительной мере на них основаны изложенные в книге методы исследования структурных и качественных свойств решений уравнений в частных производных и классических задач для этих уравнений.
В отличие от предыдущего издания, в книге помещена седьмая глава, посвященная нелинейным уравнениям в частных производных, в частности вопросам существования решений классических задач для них, а также построению точных решений некоторых важных классов нелинейных уравнений. Кроме того, глава VI дополнена новым параграфом (§ 6), в котором рассматривается задача Дирихле для гармонических функций с разрывными краевыми условиями и строится вариант приближенного решения этой задачи в круге.
