Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бицадзе А.В. -> "Уравнения математической физика" -> 9

Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.

Бицадзе А.В. Уравнения математической физика — М.: Наука, 1982. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): uravneniematematfizika1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 88 >> Следующая

д*и д*и . д*и д*и п /оач
дх* + дх* + дх* дР ~ ° I28)
описывает явление распространения звука в трехмерном
пространстве Е3 переменных xlf хг, х3 (см. ниже § 5, 2°).
Характеристическая квадратичная форма (3) для уравнения (27) имеет канонический вид
и, следовательно, по определению, приведенному в пункте 2° § 1, это уравнение во всем пространстве Еп является гиперболическим.
(27)
Я— 1
26 ВВЕДЕНИИ
Непосредственной проверкой легко убедиться в том, что функция
“ Г xik А = О
X** + 1 -|
“Ь (2Й+ 1)1 • • • » ^n-OJ» (^)
где х и v — произвольные бесконечно дифференцируемые функции, при равномерной сходимости ряда (29) и рядов, полученных из него дифференцированием почленно дважды по хи t=l, п, является решением уравнения (27). В случае полиномиальных т и v ряды в правой части (29) с определенного номера k обрываются и их сумма и (х) представляет собой полиномиальное решение уравнения (27).
Теперь покажем, что функция
»(*, 0 = | ^—fdsy, (30)
где | у — х | — расстояние между точками х = (х1г хг, х3) и У = (У1, Уъ> Уз), S —сфера \у — д:|* == f®, a fi — заданная на S произвольная действительная дважды непрерывно дифференцируемая функция, является решением уравнения (28).
В самом деле, в результате замены переменных yi —
— xt*= fa, i*= 1, 2, 3, формула (30) принимает вид
и(х, 0e*Sn(*i + ?i. х* + tit, ** + &»)do*, (31)
О
. t с I i j
где а —единичная сфера |?|“1, a dour-
ly
—* *
элемент ее площади. Из (31) имеем
2щ=‘12%^- да
I г- (= 1
Кроме того,
a i—1
f 3. ТРИ ОСНОВНЫХ ТИПА УРАВНЕНИИ
27
где
a v (у) = (vlf v2, v3) — внешняя нормаль к 5 в точке у. Дифференцируя равенство (33), находим
Из курса математического анализа известно, что для действительных функций Ai(x), t=l, ..., п, непрерывных вместе со своими производными первого порядка в замкнутой области D[}S с гладкой границей S, имеет место формула Гаусса —Остроградского
где dxx — элемент объема, a v = (vb v„) — внешняя нормаль к S в точке у ^ S.
Правая часть (34) по формуле (GO) преобразуется в интеграл по шару \у —
где dxy — элемент объема по переменному интегрированию у. Переходя от декартовых координат ух, у г, у3 к сферическим р, О, <р, выражение (36) для I запишем в виде
где р* sin Оd(pddф =* dxy. Отсюда, так как sinQdQd(p = do^, находим.
д*и и . 1 ди 1 , . 1 д!
w = ~ -------- ------
и
П П
3
(36)
t п 2л
ООО
db j Afisiatdq»-*" j ^
28
ВВЕДЕНИЕ
Следовательно, в силу (35) можно написать
<з7>
a i=l
На основании (32) и (37) заключаем, что представленная формулой (30) функция и (х, t) является решением уравнения (28).
3Q. Уравнение теплопроводности. Уравнение
(38)
1=1
относится к уравнениям параболического типа, ибо соответствующая ему характеристическая форма (3) имеет вид
/1—1
Q— Е м-
l-= 1
Когда п = 4 при подходящем подборе единицы времени t = xt, уравнение
<39>
описывает явление передачи тепла в теле, помещенном в пространстве переменных Х\, *г, х3. Поэтому (39) называется уравнением, теплопроводности (см. ниже § 5, 3°).
Непосредственным вычислением убеждаемся, как и в случае уравнений (22), (27), что функция
«(*) = 2 В Л*т ^.........x"-i) (4°)
для любой заданной бесконечно дифференцируемой действительной функции 1 переменных хъ xn-i при равномерной сходимости ряда в правой части (40) и рядов, полученных из него дифференцированием почленно один раз по хп и дважды по хи i = 1, ..., п— 1, удовлетворяет уравнению (38). Решением этого уравнения является
f 3. ТРИ ОСНОВНЫХ ТИПА УРАВНЕНИИ
29
также функция
Е (х, = 2 exp
1 — П
где ... ,%п — действительные параметры, причем хп>\п. В самом деле,
Представленная формулой (41) функция называется элементарным (фундаментальным) решением уравнения (38).
4°. Постановка некоторых задач для уравнений с частными производными. При выводе дифференциальных уравнений с частными производными из общих законов, которым подчинены изучаемые явления природы, естественно возникают дополнительные условия, налагаемые на искомые решения. Центральное место в теории уравнений с частными производными занимает доказательство существования и единственности именно таких решений, которые удовлетворяют этим условиям. Если окажется, что малое изменение данных, входящих как в уравнения, так и в дополнительные условия, вызывает малое изменение удовлетворяющего им решения или, как еще принято говорить, искомое решение устойчиво, то задача называется правильно (корректно) поставленной. Важно заметить, что условия задач, которым должны удовлетворять искомые решения, существенно зависят от типа рассматриваемого уравнения.
Сформулируем некоторые задачи, правильность постановки которых будет показана позже.
Пусть граница S области D пространства Еп представляет добой гладкую (п— 1)-мерную гиперповерхность/
t=l, п — 1,
откуда следует, что
у д*Е дЕ
so
ВВЕДЕНИЕ
В дальнейшем под поверхностью в пространстве Еп будем понимать именно (п — 1 )-мерную гиперповерхность. Тре-буется определить регулярное в области D решение и (х) уравнения (22), непрерывное в замкнутой области D[}S и удовлетворяющее краевому условию
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed