Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
5°. Некоторые важиейшие следствия, вытекающие из формулы Пуассоиа. Теоремы Лиувилля и Гарнака .... 54
§ 3. Потенциал объемных масс................................... 57
1°. Непрерывность потенциала объемных масс и его производных первого порядка.................................... 57
2°. Существование производных второго порядка потенциала объемных масс....................................... 58
3°, Уравнение Пуассона.................................... 60
4°. Формула Гаусса........................................ 63
§ 4. Потенциалы двойного и простого слоя...................... 64
1°. Определение потенциала двойного слоя.................. 64
2°. Формулы скачка для потенциала двойного слоя и редукция задачи Дирихле к интегральному уравнению 67
3°. Потенциал простого слоя. Задача Неймана............... 70
4°. Внешние задачи Дирихле и Неймана...................... 72
§ 5. Некоторые сведения из общей теории линейных эллиптических уравнений второго порядка .............................. 74
1°. Сопряженные операторы. Формула Грина.................. 74
2°, Существование решений линейного эллиптического уравнения второго порядка..................................... 75
3е. Постановка краевых задач.............................. 78
4°. Принцип экстремума. Единственность решения задачи
Дирихле ............................................... 79
5°. Обобщенные потенциалы простого и двойного слоя . . 81
Глава II
Система Коши — Рпмаиа.
Элементы теории аналитических функций.......................... 83
§ 1. Понятие аналитической функции комплексного переменного .......................................................... 83
1°. Система Коши — Римана................................ 83
2°. Понятие аналитической функции........................ 84
3°. Примеры аналитических функций......................... 87
4°, Конформное отображение................................ 90
5°. Конформные отображения, осуществляемые некоторыми элементарными функциями, и обращение этих функций. Поиятие римановой поверхности........................ 93
§ 2. Комплексное интегрирование.......... ................ 100
1°. Поиятие комплексного интегрирования.................. 100
2°. Теорема Коши ............................ 10?
ОГЛАВЛЕНИЕ б
3°. Интегральная формула Коши............................. 104
4°. Интеграл типа Коши.................................... 107
5°. Сопряженные гармонические функции. Теорема Морера 108
§ 3. Важнейшие следствия, вытекающие из интегральной формулы Коши 110
1 . Принцип максимума модуля аналитической функции 110
2°. Теоремы Вейерштрасса.................................. III-
3°. Ряд Тейлора........................................... 113
4°. Единственность аналитической функции. Теорема Лиу-
вилля................................................. 115
5°. Ряд Лорана............................................ 116
6°. Понятия особых точек и вычета аналитической функции 119
7°. Формула Шварца. Решение задачи Дирихле................ 124
§ 4. Аналитическое продолжение ................. 127
1°. Понятие аналитического продолжения.................... 127
2°. Принцип непрерывности................................. 127
3°. Принцип симметрии Римана — Шварца..................... 128
§ 5. Формулы для предельных значений интеграла типа Коши
и некоторые их приложения..................... .......... 130
Г. Понятие интеграла в смысле главного значения по Коши 130
2°. Касательная производная потенциала простого слоя 131
3°. Предельные значения интеграла типа Коши............... 133
4°. Понятие кусочио-аналитической функции................. 136
5°. Приложения к краевым задачам.......................... 137
§ 6. Функции нескольких переменных.......................... 142
1°. Вводные понятия и обозначения........................ Ц2
2°. Понятие аналитической функции иескольких переменных ...................................................... 143
3е. Степенной ряд е несколькими переменными............... 145
4°. Интегральная формула Коши и теорема Тейлора . . . 147
5°. Аналитические функции действительных переменных 149
6°. Конформные отображения в евклидовых пространствах 151
Г л а в а III
Уравнения гиперболического типа................................ 154
§ 1. Волновое уравнение........................................ 154
1°. Волновое уравнение с тремя пространственными переменными. Формула Кирхгофа................................ 154
2е. Волновое уравиение с двумя пространственными переменными. Формула Пуассона................................ 156
3°. Уравнение колебаний струны. Формула Даламбера . . 157
4°. Понятия области зависимости, области влияния и области определения.......................................... 158
§ 2. Неоднородное волновое уравнение.......................... 160
1°, Случай грех пространственных переменных. Запаздывающий потенциал......................................... 160
2°. Случай двух и одного пространственных переменных 161
§ 3. Задачи, корректно поставленные для гиперболических уравнений ... 162
