Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
14 июля 1981 г„ Москва—Тбилиси
А. Бицадзе
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Вводные понятия и определения
1°. Понятия дифференциального уравнения с частными производными и его решения. Обозначим через D область «-мерного евклидова пространства Еп точек х с декартовыми ортогональными координатами х1г х„, п>s2.
Пусть F(x, Ptt...t • ...) —заданная действительная функция точек х области D и действительных переменных Pit — tn с неотрицательными целочисленными индексами
называется дифференциальным уравнением с частными производными или уравнением в частных производных порядка т относительно неизвестной функции и (х) ¦* = и(хъ хп), а левая часть этого равенства — дифференциальным оператором с частными производными или дифференциальным оператором в частных производных порядка т.
Определенная в области D задания уравнения (1) действительная функция и (х), непрерывная вместе со своими частными производными, входящими в это уравнение, и обращающая его в тождеств, называется регр лярным решением.
П
.... f*. 2 = А — 0, ..., т, 1,
/¦= 1
по крайней мере одна из производных которой
П
отлична от нуля. Равенство вида
(1)
12
ВВЕДЕНИЕ
Наряду с регулярными решениями в теории дифференциальных уравнений с частными производными важное значение имеют решения, перестающие быть регулярными в изолированных точках или на многообразиях особого вида. К ним относятся так называемые элементарные или фундаментальные решения.
Все встречающиеся в приложениях уравнения с частными производными имеют целые семейства решений. Однако существуют дифференциальные уравнения с частными производными, множества решений которых весьма узки и в некоторых случаях даже пусты. Так, например, множество действительных решений уравнения
исчерпывается функцией и (х) = const, а уравнение
вовсе не имеет действительных решений.
Говорят, что уравнение (1) линейно, если F является линейной функцией относительно всех переменных р^...^,
2 */ = ?. & = 0, ..., т. Когда функция F линейна лишь /«=>
относительно переменных ptt...i при 2 h — m, то урав-
нение (1) называется квазилинейным.
Линейное уравнение Lu = f(x) называется однородным или неоднородным в зависимости от того, будет ли его правая часть f(x) равна нулю для всех xeD или отлична от тождественного нуля.
Очевидно, что если функции и(х) и v (х) являются решениями неоднородного линейного уравнения Lu = f, то их разность w = u(x) — v(x) будет решением однородного уравнения Lw = 0. Кроме того, если uk(x), k—\, ...
— решения однородного уравнения, то решением
этого уравнения является и функция и = скик (х), где
П
п
п
$ 1. ВВОДНЫЕ ПОНЯТИЯ и определения
13
Линейное уравнение в частными производными второго порядка можно записать в виде
2 A''-?k+2B'%+Cu-1’ <2)
г./=» | /=1
где Ay, Bj, С, / — заданные в области D действительные функции точки х.
В точках JteD, в которых коэффициенты Ац, i, / = = 1.....п, все равны нулю, (2) перестает быть уравне-
нием второго порядка, т. е. в указанных точках порядок уравнения (2) вырождается. Ниже всегда будем предполагать, что порядок уравнения (2) в области его задания всюду равен двум.
2°. Понятие характеристической формы и классификация линейных уравнений второго порядка. В предположении непрерывности частных производных первого
П
порядка функции F по переменным pt t Ч ~ т>
/=I
в теории уравнения (1) фундаментальную роль играет форма порядка т:
а
К (Кг....К) = 2 Ч = «. (3)
' ... t’
In / = I
относительно действительных параметров A1, Xn, но-
сящая название характеристической формы, соответствующей уравнению (1).
В случае уравнения второго порядка (2) характеристическая форма (3) является квадратичной:
п
Q (^i* • • •» ^л)= 2 W ЛД/*
I, ?=I
В каждой точке х е D квадратичная форма Q при помощи неособого аффинного преобразования переменных
h = .....in). i=l........п, может быть приведена
к каноническому виду
0=2] <*«??,
t=\
где коэффициенты alt п, принимают значения 1,
14
ВВЕДЕНИЕ
—1, 0, причем число отрицательных коэффициентов (индекс инерции) и число нулевых коэффициентов (дефект формы) являются аффинными инвариантами.
Когда все а; = 1 или все аг = —1, i=l.........п, т. е.
когда форма Q соответственно положительно или отрицательно определена (дефинитна), уравнение (2) называется эллиптическим в точке xeD. Если один из коэффициентов аг отрицателен, а все остальные положительны (или наоборот), то говорят, что уравнение (2) в точке х гиперболично. В случае, когда /, 1, коэффи-
циентов положительны, а остальные п — I отрицательны, уравнение (2) называется ультрагиперболическим. Если же хотя бы один из этих коэффициентов равен нулю (все а,- не могут равняться нулю, ибо вырождение порядка уравнения исключается), то уравнение (2) в точке х называется параболическим.
Говорят, что в области D своего задания (2) является уравнением эллиптического, гиперболического или параболического типа, если оно соответственно эллиптично, гиперболично или параболично в каждой точке этой области.
Эллиптическое в области D уравнение (2) называется равномерно эллиптическим, если существуют отличные от нуля действительные числа ko и ki одинакового знака такие, что
