Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бицадзе А.В. -> "Уравнения математической физика" -> 6

Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.

Бицадзе А.В. Уравнения математической физика — М.: Наука, 1982. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): uravneniematematfizika1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 88 >> Следующая

h 2^Q(^i. • • •» У 1=1 <«*1
для всех xeD.
Пример уравнения
П
д*и , V З2** л
Хпдх\ +1
< = 2 1
показывает, что эллиптическое в области своего задания уравнение не обязано быть равномерно эллиптическим. Это уравнение эллиптично в каждой точке полупространства хп>0, не будучи в нем равномерно эллиптическим.
Когда в разных частях области D уравнение (2) принадлежит к различным типам, то говорят, что оно является уравнением смешанного типа в этой области. Только что рассмотренный пример относится как раз
f 1. ВВОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
К
к уравнениям смешанного типа в любой области D пространства Е„, пересечение которой с гиперплоскостью хп = 0 не является пустым.
В дальнейшем под определенностью квадратичной формы будем подразумевать ее положительную определенность, ибо отрицательно определенная квадратичная форма умножением на (—1) становится положительно определенной.
Предполагая, без ограничения общности, что форма Q симметрична, т. е. Ац — Ац, i, j — 1, ..., п, и исподьзуя критерий Сильвестра положительной определенности квадратичных форм, мы можем, не приводя квадратичную форму Q к каноническому виду, утверждать, что для эллиптичности уравнения (2) в области D необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы
Aii ... I
A„i ••• -^n/il были положительны.
3°. Классификация уравнений высшего порядка.
В случае уравнения с частными производными порядка т:
OX J ¦¦¦ОХп /о]
где Lj — дифференциальный оператор порядка ниже т, форма (3) имеет вид
к (h......*„)=2 %... ‘Л1 ¦ • -япп. 2 Ч=«• (5)
/-1
Если при фиксированном значении jteD можно найти такое аффинное преобразование переменных А,,- = (ць ... ..., ц„), i=l, .... п, в результате которого полученная из (5) форма содержит лишь /, 0 < / < п, переменных ц/( то говорят, что уравнение (4) в точке х параболически вырождается.
При отсутствии параболического вырождения, если коническое многообразие
К (К-.-, К)” 0 (6)
не имеет действительных точек, кроме %1 = 0, ..., Хп = О, уравнение (4) в точке х называется эллиптическим.
16
ВВЕДЕНИЕ
Говорят, что уравнение (4) в точке х гиперболично, если
в пространстве переменных ............Х„ существует такая
прямая, что если принять ее за координатную ось в новых переменных щ, ..., fi„, полученных преобразованием А1, ..., Хп, то относительно координаты, меняющейся вдоль этой оси, преобразованное уравнение (6) имеет ровно т действительных корней (простых или кратных) при любом выборе значений остальных координат ц.
Аналогичным образом происходит деление по типам уравнения (1) и в нелинейном случае по характеру формы
Qku ~
(3), в которой заменены через —-------г, 2_, V = «.
п дх*... дхпп /=1
k = 0, ..., т. Поскольку коэффициенты формы (3) зависят наряду с точкой х от искомого решения и от его производных, классификация по типам в рассматриваемом случае имеет смысл лишь для этого решения.
4°. Системы уравнений с частными производными. Когда F представляет собой W-мерный вектор F — = {Ръ Fn) с компонентами
F{(x, ...» pi^...tn> • • •), •••* N,
зависящими от jcsD и от М-мерных векторов
P{V~la = (P‘i"*п> ”•> Р?
векторное равенство (1) называется системой дифференциальных уравнений с частными производными относительно неизвестных функций «ъ ..., им или относительно неизвестного вектора и = (ии ..., им).
Максимальный порядок производных от искомых функций, входящих в данное уравнение системы, Ha3bmaefcH порядком этого уравнения.
В системе уравнений вовсе нет необходимости, чтобы число уравнений N и число неизвестных функций М были равны или чтобы порядок всех уравнений данной системы был один и тот же.
Когда M=N и порядок каждого уравнения системы
(1) равен т, составим квадратные матрицы
« 2. ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 17
Выражение
представляющее собой форму порядка Nm относительно действительных скалярных параметров А,ь ..., Хп, называется характеристическим детерминантом системы (1).
Деление по типам системы (1) происходит по характеру формы (7) точно так же, как это было сделано при рассмотрении одного уравнения порядка т.
Уравнение (1), когда входящие в его левую часть
д
величины являются комплексными и под при xk =
охк
1 ( д . д \
= + понимается 2\д^'~1щ)’ равно-
сильно системе уравнений.
§ 2. Приведение к каноническому виду
линейных уравнений с частными производными ^ второго порядка с двумя независимыми переменными
1°. Характеристические кривые и характеристические направления. В пункте 2° § 1 было отмечено, что в каждой фиксированной точке х области D задания уравнения
(2) квадратичная форма Q может быть приведена к каноническому виду. В соответствии с этим в каждой фиксированной точке neD всегда можно найти неособое преобразование (замену) независимых переменных х/ —
— *i (Уи ¦¦¦> Уп), * = 1. .... п, в результате которого уравнение (2) в этой точке приводится к каноническому виду
П
где постоянные а{, i= 1, ..., п, принимают значения 1, -1. О,
v(y) = u[x(y)], 6(i/) =/Г* («/)],
а функции рг и у выражаются через коэффициенты уравнения (2).
К (К........X„) = det2
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed