Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
|а|л;0,90ц,
которое с хорошей точностью согласуется со значением, получаемым из наблюдаемого времени жизни я^мезонов с помощью (10.141). Подобное соотношение между вероятностью распада я-мезона, постоянной Ферми G и константой взаимодействия пион-нуклон было впервые получено Гольдбергером и Трейма-ном [129] путем приближенных вычислений в дисперсионной теории. Впоследствии Намбу, а также Бернстейн и др. [128] получили его как следствие частичного сохранения аксиально-векторного тока.
276
НЕЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. 10
ЗАДАЧИ
1. Исследуйте инвариантность уравнений (10.3) и (10.4) относительно операций зарядового сопряжения и обращения времени.
2. По какому закону должны при зарядовом сопряжении преобразовываться функции ф+ и ф-, чтобы уравнения (10.12) и (10.13) оставались инвариантны?
3. Рассмотрев диаграммы шестого порядка, проверьте согласованность условия выбора знака (10.21).
4. В приближении зарядовой независимости полезным преобразованием симметрии является О-преобразование. Оператор G-преобразования определяется следующим образом:
Установите, как преобразуются функции ф и Ч*1 под действием этого оператора.
5. Проверьте, что в нерелятивистском приближении в порядке gg потенциал (10.51) приводит к амплитуде рассеяния (10.45).
6. Покажите, что потенциал (10.58) в порядке g$ приводит к S-волновой части амплитуды я— ^-рассеяния (10.57).
7. Используя свойства цикличности следа, покажите, что выражение (10.82) преобразуется как лоренцев 4-вектор; обобщите это утверждение для
любого порядка. Интеграл ^ d*k в (10.82) следует регуляризовать и расходящуюся часть выделить в перенормировочную постоянную; эта операция не влияет на трансформационные свойства.
8. Докажите, что электромагнитные форм-факторы в (10.85) и (10.89) для задач рассеяния должны быть действительны при q2 < 0, если ток перехода эрмитов. Должен ли ток быть эрмитовым?
9. Рассмотрите возможные электромагитные форм-факторы я0- и К0-мезонов.
10. Покажите, что формула Розенблюта (10.90) дает наиболее общую зависимость от угла рассеяния при фиксированной передаче импульса для любой релятивистски-ковариантной структуры протона и электрона в приближении однофотонного обмена между электроном и протоном.
11. Покажите, что выражение второго порядка (10.82) для форм-фактора Fn(q2) может быть переписано в виде следующего спектрального представления:
'««¦’-И ¦
71 J а — а2 — ie
а — а* — 1й 0 4 4
и вычислите спектральную функцию р (q/2).
12. Докажите, что для протона и я+-мезона Z\ = Z2 с точностью до членов порядка ег и g2; получите отсюда равенство их перенормированных зарядов при условии равенства «голых» зарядов.
13. Рассчитайте фоторождение я-мезонов в низшем порядке по е и g. Проверьте калибровочную инвариантность.
14. Вычислите электромагнитную собственную энергию нейтрона и про-
тона во втором порядке, используя (10.89) и аппроксимируя форм-факторы их статическими значениями, т. е. полагая F(q2) F(Q). Возникающие при
этом интегралы необходимо регуляризовать. Можно ли таким способом получить положительную разность масс нейтрона и протона? (См. [130].)
15. Постройте S-матрицу процесса я0 -> 2у, удовлетворяющую условиям калибровочной и релятивистской инвариантности, и найдите вероятность рас-
ЗАДАЧИ
277
пада. Вычислите относительную вероятность рождения пары Далица: jx°->y + -J- е~. Наконец, рассмотрите распад на две пары Далица и пока-
жите, что по корреляции плоскостей этих пар можно определить четность я°-мезона (см. [131]).
16. Проверьте, что формула (10.105) дает правильное значение поляризации электрона, равное — I Ре I, если матричный элемент [3-распада описывается формулой (10.107).
17. Проверьте в низшем порядке по G2 формулу (10.113) для энергетич-ной зависимости сечения реакции v + р-> п + е+ Вычислите это сечение, используя пропагатор промежуточного Й^-бозона и общий вид форм-факторов в вершинах.
18. Проверьте, что для уравнения Вейля (10.114) имеется операция обращения времени.
19. Вычислите спектр электронов в [i-распаде с учетом всех пяти типов связи S, Т, Р, V и А и сравните с формулой (10.136).
20. Если |х-распад происходит через U^-мезон с конечной массой, как изображено на рис. 10.15 для случая (5-распада, спектр (10.136) меняется. Найдите это изменение и свяжите его с изменением параметра Мишеля (см. [551).
21. Определите вероятность реакции (10.148) и проверьте значение отношения (10.149).
22. Вычислите парциальные вероятности распадов
/(0->я- + е+ + v,
/(0-*jt- + n+ + v'.
23. Вычислите парциальную вероятность образования пары Далица в распаде
