Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Имеются следующие условия нормировки:
« (р, s) и (р, s) = 1,
V (р, s) V (р, s) = — 1 и условие полноты
^ [иа (p,s) йй (р, s) — va (р, s) бр (p. s)] = бар.
5
При вычислении следов необходимо строить величины, эрмитово-сопряженные по отношению к данным матричным элементам. Для таких величин имеем
[й (p't s') Г и (р, s)]+ = й (р, s) Г (р', s'),
где
Г = v°r+Y°-
(А.2)
’) См. примечание на стр. 26. (Прим. перев.)
ПРИЛОЖЕНИЕ А
281
Например.
у»- = vflYU+V° = YU.
CTtlv = yVv+y° = <r*iV, iy5 = Y%V)V = /у5.
Суммирование выражений (A.l) по спинам дает проекционные операторы для состояний с данной энергией:
[Л+ (P)]a^ = Yj “а (Р’ S) “Р ^ = ( ^ 2тШ )а ’
±s
' / _ й 4- N {А З)
[А- (Р)1аэ= ~ 2j va (Р' s) (ft s) = (-----------2w"^’)a '
± s “Р
Полезным тождеством является разложение Гордона для тока
а А <р) - * (Л <»¦
Теоремы о следах и соотношения для матриц у
йЬ — а ¦ b — j'CT^vaw6v.
След нечетного числа матриц у равен нулю:
SpYs = 0,
S р 1 = 4,
Sp йЬ = 4а- Ь,
Sp а\а2ага4 — 4 [ai • а2 ¦ аг ¦ а4 — at ¦ а3 ¦ а2 • a4 + а, • а4 ¦ а2 • аз].
Sp уъаЬ = О,
Sp y^Abcd — 4/еapYjaa6Pcvda,
Yn^Y11 = — 2й,
Y^iJSy^ = 4a ¦ b,
= — 2бЬй.
Другие соотношения приведены в § 25.
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА
Сечения процессов даются выражениями, которые можно разделить нп две части: во-первых, это квадрат абсолютной величины амплитуды ®1, которая должна быть лоренцевым скаляром и в которой заключена информация о физике процесса, и, во-вторых, фазовый объем и кинематические ч>акторы. Дифференциальное сечение da процесса с участием только бесспиновых частиц и фотонов записывается следующим образом:
1 ( 1 \( 1 V™,, d=k, d4n w
\Vi-V2\\2%J\2*PJ 2tM2")3 2шп(2я)з X
X(2n)<e«^pi + ps-?*,^s. (Б.1)
где, как обычно, ap = V I P |2 + n2, a vi и V! представляют собой скорости начальных коллинеарных частиц. Затем это выражение интегрируется по всем нерегистрируемым импульсам ki ... k„ конечных частиц. Статистический фактор 5 для реакции с т тождественными частицами в конечном состоянии равен
5-ТТЛ
11 mil
i
Для дираковских частиц1) фактор 1/2©,, следует заменить на mjEp и вновь учесть статистический фактор 5; остальные факторы те же.
Дифференциальная вероятность распада частицы с массой М в ее системе покоя равна
* (т) - w | -siw ¦ ¦ • (2"),в 1 (р - % ‘‘)s'
где все величины определены, как и прежде. Если в конечном состоянии имеются фермионы, то вновь I/2со i т/Е с, если начальная частица является фермионом, фактор 1/2М отсутствует.
') Если нормировать дираковские спиноры на 2т вместо 1, как в формуле (А.2), выражение (Б.1) можно применять и для фермионов. В этом случае проекционные операторы для состояний с определенной энергией имеют вид (т ± Р) вместо (А. 3).
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
283
При необходимости производится суммирование по конечным поляризациям и усреднение по начальным.
Для нахождения инвариантной амплитуды Ш1 необходимо изобразить все фейнмановские диаграммы, отвечающие рассматриваемому процессу, за исключением диаграмм в виде изолированных вакуумных петель и собственноэнергетических поправок к внешним линиям. Амплитуда SW(G'), соответствующая диаграмме G, строится путем сопоставления каждому элементу диаграммы определенного фактора в амплитуде. Факторами, не зависящими от конкретных деталей взаимодействия, являются:
1. Каждому бозону со спином 0, входящему в диаграмму, соответствует фактор VZ. Фактор VZ находится путем вычисления точного мезонного пропагатора AF (р) в пределе р2 -> p.2; Af (р) -> Z А/,- (р) при р2 -> Ц2.
2. Каждой внешней фермионной линии, входящей в диаграмму, соответствует VZ2 и (р, s) либо л] Z2 v(p, s) в зависимости от того, отвечает эта линия начальному или конечному состоянию; аналогично каждой фермион-ной линии, выходящей из диаграммы, соответствует Vz2u(p, s) либо ¦\/Z2 v (р, s). Величина Z2 определяется путем предельного перехода
Нш S'F (р) = Z2SP (р).
р-*т
3. Каждой внешней фотонной линии сопоставляется фактор ец Vz3, где при q2 -> О
