Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
лабораторной системе координат, так и при расчете в системах координат,
связанных с ракетой. В последнем случае мы вынуждены- пользоваться двумя
инерциальными системами координат. Именно благодаря неинерциальному
характеру движения ракеты с возвращением нельзя в рассуждениях просто
поменять местами часы, находящиеся в начале лабораторной инерциальиой
системы, и часы, связанные с ракетой.
3.1.8. Два электрона летят навстречу друг другу со скоростями v = */5
с. Какова скорость электрона в системе координат, связанной с другим
электроном?
Решение. Используем формулу сложения скоростей. Если мы будем переходить
в систему координат, связанную с электроном, движущимся в положительном
направлении
14
оси х, то формула сложения скоростей выглядит следующим образом:
и' - u~v - ~2v
1 - Uil/c2 1 + и2/с2 '
где учтено, что и= -v, а величина и' являе'тся искомой скоростью. Чтобы
оценить этот результат, полезно вычислить, как'изменяется множитель у =
1/1/" 1-п2/с2, который характеризует величину сокращения масштабов,
замедления вре-мени, а также и энергию частиц. Обозначив Y' = 1/К 1-
и'2/с2, находим
У' = 2Y2 \f \------- Ь -.
1 1 у v2 4V2
Следовательно, при больших скоростях, когда у^1> можно считать, что
Y' ^ 2у2,
т. е. при переходе из центра масс движущихся навстречу друг другу частиц
в систему координат, связанную с одной из частиц, энергия другой частицы
становится весьма большой. В обычных ускорителях одна из частиц является
покоящейся частицей-мишенью, на которую налетает другая частица,
разогнанная до большой скорости (до больших энергий). Если покоящуюся
частицу-мишень разогнать навстречу падающей на нее частице до такой же
скорости, то столкновение между ними будет эквивалентно столкновению
между неподвижной частицей и частицей, разогнанной до энергий, во много
раз больших, чем энергия каждой частицы при встречном столкновении. Это
обстоятельство используется в ускорителях на встречных пучках. Если взять
два встречных пучка протонов, каждый из которых обладает энергией около
30 ГэВ, то это эквивалентно тому, что на неподвижный протон налетает
другой протон с энергией около 1000 ГэВ.
2-й тип задач (3.2)
3.2.1. В лабораторной системе координат два события произошли в
точках Xi=0 и х2=Ь в моменты времени /] =0 и /г=4/з • 10-8 с. Найти
систему координат, в которой пространственное н временное расстояния
между событиями минимальны. Чему они равны?
Решение. Используем инвариантность интервала. Имеем,
s2 = (Дх)2 - с2Д / = х| - сН\ = 9 > 0,
15
т. е. интервал пространственно-подобный. Поэтому существует система
координат, в которой событии одновременны (At'=0), а пространственное
расстояние между ними равно I- I 9=3 м. Это и есть минимальное
расстояние, как это видно из определения интервала. Считая, что в момент
первого события начала систем координат совпадают, имеем для второго
события
Г = п = Ь - v/°*
2 /1 - В а/с2 '
т. е.
у _ tic _ 4 с х2 5
Можно использовать и другую формулу преобразований Лоренца:
5 - у-10-8 - vt2 " 3
" - -, или 3 =
2 У 1 - а2 /с2 у 1 - а2/са '
3.2.2. В лабораторной системе координат два события произошли в
точках xi=0, tt=0 и х2=4 м, /2= 5/3 -10-8 с. Найти систему координат, в
которой пространственное и временное расстояния минимальны. Чему они
равны?
Решение. Имеем
s2 = x2 - сЧ\ = - 9<0,
т. е. интервал времени-подобный. Следовательно, существует система
координат, в которой эти события происходят~в одной точке с минимальным
интервалом между ними; этот интервал равен t2 = К9/с = 10_8с.
Для нахождения системы координат имеем
х' = О
х2 - vt2
т. е.
Иначе так:
2 1/1-и2/с2
w _ х2 _ _4_
с ct2 5
h - *2 о/с2 у 1 _ "а/с2
Ответ, конечно, тот же. 46
4. Контрольные вопросы
4.1. В каком случае можно сказать, что два события заведомо ие связаны
причинно?
4.2. Если два события не связаны причинно, то в какой системе координат
наиболее очевидно отсутствие причинной связи между ними?
4.3. Если два события связаны причинно, то в какой системе координат
наиболее очевидна возможность существования причинной связи между ними?
4.4. Пусть в лабораторной системе координат вдоль оси х движутся два тела
с разными скоростями. Скоростью сближения или удаления в лабораторной
системе координат можно назвать скорость изменения расстояния между
телами, т. е. отношение изменения расстояния между телами, измеренного в
лабораторной системе координат, к интервалу лабораторного времени, за
которое это изменение произошло. В аналогичном смысле можно говорить о
скорости приближения (или удаления) луча света к телу, движущемуся в
лабораторной системе координат.
Является ли эта скорость приближения (или удаления) света к телу
постоянной? Чему она равна?
4.5. Допустим, что никакого релятивистского сокращение длины нет. Вдоль
линейки скользит тело длиной I. Сбоку из некоторой точки делается
моментальная фотография движущегося тела, причем на фотоснимке видны
одновременно и тело и линейка, так что непосредственно на снимке можно
