Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
направления движения и против направления движения имеем
д".) = kVT^ + v^ _ Аф= 1оуГТ=Р-УЬд '
где (3 = v/c и учтено сокращение плеча интерферометра, направленного
вдоль направления движения. Отсюда получаем
Д/(1> - 10 ^ ~ Р3 Д^(2) _ 'о/1 '
С + V
Поэтому для полного времени возвращения луча, движущегося вдоль плеча,
параллельного движению интерферометра, находим:
2/" 1
Д* и = Mj> f М2> = ¦
с У 1 -_ч2/с2 '
т. е. та же величина, что и для плеча, расположенного в перпендикулярном
направлении:
Д*11 =Д*1 = Д<. (3)
Сравнивая выражения (1), (2) и (3) для интервалов времени возвращения
лучей в движущейся системе координат и неподвижной, находим формулу
замедления хода движущихся часов:
Ax = AtVl-п2/с2. (4)
3.1.6. Две ракеты, покоящиеся на оси х на расстоянии I друг от дцуга,
начинают одновременно ускоряться в положительном направлении оси х по
абсолютно одинаковому закону. Достигнув скорости v, они движутся
равномерно. Каково расстояние между ракетами в лабораторной системе и в
системе координат, связанной с ракетами? Объясните результат.
Решение. В силу одинакового закона ускорения ракеты в процессе ускорения
проходят одинаковый путь в положительном направлении оси х.
Следовательно, в режиме равномерного движения расстояние между ними будет
таким же, как и до начала ускорения, т. е I
Поскольку в лабораторной системе координат расстояние между ракетами
равно /, в системе координат, связанной с ракетами, оно должно быть//у^1-
п2/с2, т. е. больше в такое число раз, чтобы после сокращения равняться
I.
Увеличение расстояния между ракетами в процессе ускорения объясняется
относительностью одновременности: в лабораторной системе ракеты
ускоряются синхронно, а в сис-
12
теме координат, связанной, например, с центром масс ракет, такой
одновременности нет. В этой системе ракета, находящаяся в направлении
ускорения, ускоряется с некоторым опережением и благодаря этому
расстояние между ракетами увеличивается.
3.1.7. Как известно из курса теории относительности, само по себе
ускорение не оказывает влияния на ход часов. Учитывая это, мы можем в
задачах говорить о мгновенном изменении скорости часов без изменения их
показаний в момент изменения скорости.
Путешественник на ракете отправлялся из точки х=0 в положительном
направлении оси х со скоростью и. По прошествии времени п направление его
полета меняется мгновенно на обратное, и ои возвращается в исходную
точку.
Сколько времени продолжался полет по часам лабораторной системы и по
часам, связанным с ракетой? Решить задачу как в лабораторной системе
координат, так и в системах координат, связанных с ракетой
Решение. I. Полет до точки поворота.
В лабораторной системе часы, связанные с ракетой, в момент поворота т
показывают время
где учтено, что в момент поворота координата ракеты равна Xl = Ti-V.
В системе ракеты координата равна х'-б. Следовательно, для момента
поворота имеем
где учтено, что х'=0. Формулы (1) и (2), как и следовало ожидать в
соответствии с принципом относительности, совпадают.
II. Возвращение от точки поворота в начальную точку.
В точке поворота скорость ракеты меняется на обратную, т. е. происходит
смена инерциальной системы координат, в которой ракета покоится.
Показания часов в точке поворота в обеих системах координат одни и те же.
Таким образом, после поворота ракета покоится в системе координат,
движущейся в направлении отрицательных значений оси х (т. е. со скоростью
-о), и часы, расположенные в этой точке, показывают Х\ = tj I/1-v2/c2, а
совпадающие с ними часы лабораторной системы показывают ti- Координата
точки поворота в лабораторной системе равна xi=vxi. Для дальнейшего
расчета удобно в момент поворота перенести начало лабораторной системы
координат в точку поворота ракеты.
Ti - (vie2) ТуУ /1 - о2/с2
(1)
Tj + (в/с2)х'
(2)
1/1- а2/с2 /1-в2/с2 '
13
Тогда точка начала полета в лабораторной системе имеет координату х2=-
vxi. ДаЯее удобно синхронизировать начало отсчета времени таким образом,
чтобы в новом начале системы координат часы показывали 0. Для этого надо
все часы лабораторной системы координат отвести назад на время т, а в
системе ракеты - на время Х\=т1уг\-п2/с2.
Для дальнейших расчетов пользуемся обычными преобразованиями Лоренца.
В лабораторной системе. Чтобы вернуться в исходную точку х2=-vxi, летя со
скоростью v, ракета затрачивает время т2--x2/v=xi.
Часы, связанные с ракетой, в момент возвращения в исходную точку х2= -
их2= -vti показывают
т2 + , (- т2в) ________
х'= _f __________-=x2lfl-v2/c2. (3)
2 V\-V2/c2
В системе ракеты. Координата ракеты все время х'=0 и, следовательно, для
момента возвращения в исходную точку имеем
(4)
а /1 - "2/с2 '
Таким образом, время от улета ракеты до ее возвращения в лабораторной
системе по часам, помещенным в начале координат, равно
х = Tj 1 т2 = 2хи
а по часам, связанным с ракетой,
х' - Х{ { T2=2xlV^-rfJci,
причем этот результат получается одинаковым как при расчете в
