Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
^ = ~3- + сь vy = — ?f + ca.
Учитывая начальные условия (t>x=0, vy=0 при /=0), находим значения произвольных постоянных Ci=O и C2=O. Далее из системы дифференциальных уравнений
dx ata йу о,
определяем компоненты x(t) и y(t) радиуса-вектора г(/): x(t)^~ + ca, 1/(0=-^ + с4, (10.20)
где C8 и C4 — произвольные постоянные. Учитывая начальные условия (л:=0, у=0 при /=0), из уравнений (10.20) находим, что C8=C4=O. Закон движения найден:
г (0 = ?4!-?^. (10.21)
По формуле для модуля вектора определяем искомое рас-| /Стояние материальной точки от начала координат в мо-j мент времени t=\ с: І
|г| = К*2 + гЛ
Отсюда получаем г«1,52 м. ,
Анализ решения. Зная закон движения, можі но найти любой параметр, характеризующий движение ма-1 териальной точки, и, следовательно, поставить и решит* множество других кинематических задач по определении этих параметров. Сформулируем, например, задачу о на* хождении траектории данной материальной точки: по за данному ускорению a.=atH—?j и тем же начальным условиял (их можно и изменить) определить траекторию материаль ной точки. После того как будет получен закон движенш (10.21), траектория определится из системы уравнение
__??*_
Х~ 12 * У~~ 2 '
Исключив из этой системы время t, можно найти уравнен» траектории.
Совокупность методов решения прямой и обратной за дач кинематики составляет сущность кинематического мі тода, о котором упоминалось в § 6.
42
Весьма часто произвольная кинематическая задача с реальным содержанием может быть сведена к схематизированным прямой и обратной задачам кинематики, рассмотренным выше. Покажем это на конкретном примере. Пример 10.5 Поезд движется прямолинейно со скоростью ^0=180 км/ч. Внезапно на пути возникает препятствие, и машинист включает тормозной механизм. С этого момента скорость поезда изменяется по закону V=V0—а?2, где а=1 м/с3. Каков тормозной путь поезда? Через какое время после начала торможения он остановится?
Решение. Включим в физическую систему одно тело — поезд. Его можно принять за материальную точку. -Движение поезда исследуется формально, без выяснения причин, обусловливающих изменение его движения (механизм действия тормозной установки неизвестен, и знание его в данной задаче не является необходимым). Известен закон изменения одного из! параметров движения — скорости. Необходимо определить некоторые другие физические величины, характеризующие движение поезда (время и путь торможения). Таким образом, перед нами обратная задача кинематики, которую можно сформулировать в следующем схематизированном виде: скорость материальной точки изменяется по закону v=(v0—аіг)і, где а=\ м/с8, U0=180 км/ч. Определить время ее движения и путь, который она пройдет до остановки, если при ?=0, г=0 и V0=U0I (последнее условие вытекает из закона изменения скорости v=(i>0—a?2)i).
В такой формулировке уже безразлично, какое реальное тело движется: поезд или автомобиль, катер или подводная лодка (достаточно изменить только постоянные параметры а и 1>0).
Решение этой обратной задачи кинематики получается уже известным нам кинематическим методом. Так как движение тела одномерно (вдоль оси ОХ), то для нахождения закона его движения имеем одно дифференциальное уравнение:
dx=vdt или Ux=(V0—at*)dt.
После интегрирования последнего уравнения и учета начальных условий получаем закон движения:
x=v0t—a№. (10.22)
43
Время движения поезда определяется из условия равенства нулю его скорости:
O=U0- at*.
Отсюда находим t=\/rv0/<x. Подстановка числовых значений дает t&7 с. Из (10.22) находим тормозной путь: л:«230 м. Пример 10.6 Ракета стартует с Земли вертикально вверх с ускорением a=a,t2, где а=1 м/с4. На высоте H0=100 км от Земли двигатели ракеты выходят из строя. Через сколько времени (считая с момента выхода двигателей из строя) ракета упадет на Землю? Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Начальная скорость ракеты V0=O.
Решение. Ракету можно принять за материальную точку. Задан закон изменения ее ускорения и начальные условия. Необходимо определить другие физические величины, характеризующие движение ракеты (скорость, время движения, закон движения). Это обратная задача кинематики. После интегрирования соотношения dv=adt и учета начальных условий определяем закон изменения скорости:
v=at43.
Отсюда (после повторного интегрирования и учета начальных условий) находим закон движения ракеты: Л=сс/*/12.
Эти законы справедливы только до момента выхода из строя двигателей ракеты. Определим скорость ракеты в тот момент времени (она станет начальной скоростью ее дальнейшего движения):
ViW-
Отсюда получаем vol&\2,\ км/с. Такое значение скорости v0i превосходит вторую космическую скорость для Землиц равную U2^ 11,2 км/с. Следовательно, ракета вообще не возвратится на Землю.
§11. Динамика материальной точки
При изучении движения тел в динамике для учета су* шествующих между ними взаимодействий необходимо ввести понятие силы F. Возникает очень важный вопрос: как на' ходить силы, действующие на любое тело? ,
Сначала следует выяснить, с какими другими те лами взаимодействует данное тело. Далее определить, к а і
