Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
Этот метод может быть распространен и на случай неинер-циальных систем отсчета. В примере 11.2 не был рассмотрен случай г. Допустим, что клин не закреплен, т. е. /з=?*=00. Теперь в общем случае клин движется равномерно-переменно (т. е. с ускорением аа относительно Земли) и связывать с ним инерциальную систему отсчета нельзя. Если учитывать все условия этой задачи, то она становится крайне сложной (не принципиально, а технически). Поэтому, чтобы показать сущность применения динамического метода при использовании неинерциальной системы отсчета, максимально упростим эти условия. Предположим, что все силы трения отсутствуют, т. е. /1=/2—/з"0- Далее, будем считать, что тело т2, нить и блок также отсутствуют и угол a2==90Q (последнее условие несущественно — угол a2 может быть каким угодно). Таким образом, рассматриваемая нами задача может быть сформулирована в следующем виде. Пример 11.5 Ha гладком клине массой w8 = IO кг расположена материальная точка массой тх=1 кг. Клин может двигаться по гладкой горизонтальной поверхности. Угол у основания клина «1=30°. Определить ускорения тела и клина.
Решение. В физическую систему включим два тела! материальную точку массой /пх и клин массой т8. Клин нельзя считать материальной точкой, но в условиях данной задачи (клин движется прямолинейно) можно приближенно
57
принять, что, во-первых, все силы, действующие на КЛИНа приложены в его центре масс и, во-вторых, к нему можно применить второй закон Ньютона.
Физическое явление в данной системе заключается в движении этих двух тел: материальная точка движется относительно клина, а клин движется относительно Земли. Необходимо найти кинематические характеристики этого явления — ускорение материальной точки ах относительно' клина и ускорение клина а3 относительно Земли. Это основная задача динамики.
Исследуем сначала движение клина относительно инер-циальной системы отсчета, которую можно связать с Землей. Оси координат OX и OY направлены так, как показано
11.9
11.10
на рис. 11.9. На клин действуют три силы: сила тяжести] m3g (результат взаимодействия клина с Землей по закону! всемирного тяготения Ньютона), сила реакции опоры) N3 (результат упругого взаимодействия клина с Землей)| и сила Nx (результат упругого взаимодействия клина с материальной точкой). По второму закону Ньютона,
/n3a3=m8g+Ni+N8. (11.30J
Проецируя уравнение (11.30) на оси координат, получае
Hl3CIax=N1 Sin (X1,
tnaasy=m3g+N1 cos U1-N3,
где а3х и азу — компоненты вектора ускорения а3 соот ветственно по осям OX и OY. Так как азу=0 и, следова! тельно, аах=аа, то
m3a3=Ni sin аь (11.31
O=HiZg+ N1 cos OL1-N3. (11.3
Получена незамкнутая система из двух уравнений с тр© неизвестными: с8, N1 и N3.
58
Для нахождения замкнутой системы уравнений исследуем движение материальной точки относительно клина. Так как клин движется ускоренно, то связанная с ним система отсчета неинерциальна. Оси координат направим так, как показано на рис. 11.10. Второй закон Ньютона по отношению к неинерциальной системе отсчета записываем в следующем виде:
ma=2F+F«> (П.ЗЗ)
где SF — геометрическая сумма «обычных» сил, действующих на тело массой т, движущееся с ускорением а относительно неинерциальной системы отсчета, FH—сила инерции, которая в нашем случае (поступательное движение) составляет F„=—Ht1SL3. На материальную точку действуют три силы: сила тяжести Ki1Q (результат ее взаимодействия с Землей по закону всемирного тяготения Ньютона), реакция опоры N1 (вследствие упругого взаимодействия материальной точки с клином) и сила инерции F„. По второму закону Ньютона (11.33),
m&^m?+ N1+ F11.
Проецируя это уравнение на оси координат, находим
іПіаіх=т^ sin Ci1-^m1CL3 cos а1( (11.34)
tn1aly=m1g cos ах—In1CL3 sin аі—N1. (11.35)
Так как а1у=0, и, следовательно, U1x=U1, то из (11.34) и (11.35) получаем
Ui1Ui=UiIg sin CL1-^m1CL3 cos аь (11.3J3)
0=mig cos ах—тхаъ sin ах—Л^. (11.37)
Система из четырех уравнений (11.31), (11.32), (11.36), (11.37) является замкнутой (неизвестные N1, N3, аи а8). Решая эту систему уравнений, определяем искомые величины:
N = mim3gcosai . дг _ m g Л , m, CQS2Ot1 \ 1 т3-fTTt1 sin2(X1 ' 8 зё\ "1^ m8-fmisin2ai/ ' rriig cos2 ai . mig cos aj
^1=g sin (X1H——^-— ; a3=
+mi sin ax ——-—J-Zn1 sin 0?
SlIl OC1 sin Cl1
Отсюда #!«8,2 H, Na& 105 H, ах«5,25 м/с2, a8A*0,41 м/с8.
59
§ 12. Механические колебания
Чаще всего рассматривают свободные незатухающие, свободные затухающие и вынужденные колебания. Характерной особенностью колебательных движений является то, что они происходят под действием переменных сил. Поэтому после применения второго закона Ньютона получают дифференциальные уравнения (обычно не в векторной форме, ибо в большинстве случаев рассматриваются одномерные задачи).
Пример 12.1 Предположим, что Земля просверлена по диаметру. В образовавшуюся шахту без начальной скорости у поверхности Земли опустили небольшое тело массой т. Определить его скорость в центре Земли. Сопротивлением воздуха пренебречь. Решение. В физическую систему включим данное тело, которое можно принять за материальную точку. Зем-
