Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
mxa=FK—fxmig cos Ct1—mxg sin ab m2a=m2g sina2—/гт2# cosa2—Fn.
Решая полученную систему, находим
Zn2SiHa2—fxmxcosax—/2т2 cos a2—mi sin a.x ^ ... 1ЛЧ
Отсюда получаем 6,62 м/с2, FH«13,2H.
Из формул (11.16) и (11.17) видно, что ускорение а еще более уменьшилось, а сила натяжения нити тоже уменьшилась по сравнению со случаем б). Случай г) (клин не закреплен) будет рассмотрен несколько позже.
Уравнения (11.16) и (11.17) показывают, что искомые величины (ускорение а и сила натяжения Fn) весьма сложным образом зависят от параметров физической системы: масс тх и тг, углов Ct1 и а2, коэффициентов трения fx и /2. Эту зависимость можно исследовать аналитически.
Зная одну из кинематических величин физической системы (ускорение а), можно, решая обратную задачу кинематики, найти закон движения. Если начальная скорость системы равна нулю, то он имеет вид x=x0-\-at2/2, где X0 — начальное положение какого-либо тела системы. Следовательно, можно в произвольный момент времени t определить и скорость любого тела системы, и его положение в пространстве, и многие другие физические величины, характеризующие и тела системы, и физические явления, происходящие в ней. Например, можно определить импульсы тел тх и т2 системы (pi=tnxvx, p2=m2t>2), значения их кинетических энергий ЕкХ=тхих/2, Ек2=т&\І2 и т. д., и т. п.
Таким образом, решив основную задачу динамики (найдя закон изменения одной из кинематических величин — ускорения а (0, скорости v(t) или радиуса-вектора r(t)), мы можем определить механическое состояние физической' системы.
тх-\-т2
тхт2 (sin Gt1 + /1 cos ai + sin a2 — f2 cos a2) mx-\-m%
S-
(11.17)
51
Можно еще более усложнить решенную нами задачу, предположив, например, что нитями связаны не два, а три тела и более, что имеется не один, а два блока и более, что сторон- у клина, по которым движутся тела, не две, а три и более и т. д. Короче, можно поставить еще десятки таких задач, принципиальная сущность которых одна и та же. Важно отметить, что все эти задачи могут быть решены одним и тем же динамическим методом. В примере 11.2 мы рассмотрели несколько задач различной степени трудности, но по своей глубокой сущности это были одинаковые задачи и решены они были одним и тем же динамическим методом.
Заметим, что'задачи, решенные в примере 11.2, имели одну общую и весьма характерную черту: силы, действующие на тела системы, были постоянными. Во всех таких задачах закон движения можно предсказать заранее: если движение происходит по оси ОХ, то он должен иметь вид: x=Xo-{-Voxt+axt2/2 (при движении по другим направлениям можно записать аналогичные уравнения). Таким образом, движение тел в этом случае всегда является равномерно-переменным (с постоянным ускорением).
Рассмотрим примеры более сложных задач, когда силы, действующие на тела системы, не постоянны.
Пример 11.3 Парашютист массой т = 100 кг делает, затяжной прыжок с начальной скоростью u0=0. Най ти і закон изменения его скорости до раскрытия парашюта,\ если сила сопротивления воздуха пропорциональна ско-4 рости движения парашютиста: Fc=—k\,zde ?«20 кг/с. Решение. Физическая система в данном случае состоит из одного тела — парашютиста, причем его можно принять за материальную точку. Физическое явление — механическое движение материальной точки в результата ее взаимодействия с внешними телами (Земля и воздух); Необходимо найти один из кинематических параметров движения тела — его скорость как функцию времени. ЭтС основная задача динамики. Применим второй закон Ньютона (условия применимости этого закона выполнены). Зі тело отсчета инерциальной системы можно принять Землк (рис. 11.6). Начало координат поместим в точку О, ш которой начинается движение парашютиста. Ось OX на правим вертикально вниз. Так как высота h мала по сравне нию с радиусом Земли, то ускорение свободного падени: можно считать постоянным, т. е. g&9,8 M/c2=const. Hi парашютиста действуют две силы: сила тяжести mg и сил сопротивления воздуха Fc=—k\. По второму закону Нью
52
тона получаем дифференциальное уравнение для неизвестной функции v(t):
m-^ = mg—ко.
Разделяя переменные, находим
dv _ ^ dt
tng/k—u~~ m *
или
d(mg/k — v)_ k ^ mg/k — v m
Отсюда после интегрирования получаем
In (mg/k—V) = — — t + c.
(11.18)
Произвольную постоянную с определяем из начальных условий (U=U0=O при ?=0): c=ln (mg/k). Подставляя это
>0
т "fnq
11.6
Y
*0
_
А
тд
11.7
значение постоянной с в уравнение (11.18), после несложных преобразований находим закон изменения скорости парашютистаї
^^(l—e«-*/»»'). (11.19)
Из уравнения (11.19) видно, что при t-*ca скорость стремится к своему максимальному значению vmiX=mgfk, что составляет примерно 50 м/с. Опыт показывает, что такое значение скорости достигается через сравнительно небольшой промежуток времени и далее парашютист приближается к Земле равномерно с этой максимальной скоростью. Теоретически движение парашютиста — всегда ускоренное
?3
(скорость возрастает непрерывно), но практически начиная с некоторого момента времени изменением его скорости можно пренебречь, считая, что парашютист движется равномерно.